2 Iwasawatheorie

Die Untersuchung von unendlichen Erweiterungen von Zahlkörpern mit Galoisgruppe ℤ_{p} wurde von K. Iwasawa in [16] mit seinem inzwischen berühmten Resultat über das Wachstum der p-Klassenzahlen in einer solchen Erweiterung eingeleitet. In diesem Kapitel werden zunächst einige Hilfsmittel bereitgestellt, die man benötigt, um mittels der von Iwasawa ([16], [18] u.a.) entwickelten Theorie die Struktur bestimmter unendlicher Galoisgruppen zu untersuchen.

2.1 Ergebnisse aus der Klassenkörpertheorie

Die Klassenkörpertheorie vergleicht in ihrer einfachsten Form die Klassengruppen von Zahlkörpern mit Galoisgruppen bestimmter unverzweigter Erweiterungen. Iwasawa stellt in [16] sein Resultat zunächst als eine Version dieses Vergleichs für unendliche Zahlkörper dar.

Wir werden in diesem Kapitel Galoisgruppen als Moduln über der nach ihm benannten „Iwasawa-Algebra“ betrachten. Das ist ein vollständiger Gruppenring, der einerseits mit Hilfe von Idealklassengruppen und andererseits mit Hilfe von Galoisgruppen definiert werden kann. Dass beide Sichtweisen zum gleichen Ergebnis führen, folgt aus einigen grundlegenden Aussagen der Klassenkörpertheorie ([46], Anhang 3), die deshalb in diesem Abschnitt zusammengestellt sind.

Sei K′/K eine endliche galoissche unverzweigte Erweiterung von Zahlkörpern, 𝔭 ein Primideal in O_{K} mit Norm N𝔭 = |O_{K}/𝔭| und 𝔓 ein darüberliegendes Primideal in O_{K′}. Der Restklassenkörper O_{K′}/𝔓 ist eine endliche galoissche Erweiterung von O_{K}/𝔭 mit zyklischer Galoisgruppe Gal((O_{K′}/𝔓)/(O_{K}/𝔭)), die vom Frobenius-Automorphismus x ↦ x^{N𝔭} erzeugt wird.

Da K′/K als unverzweigt vorausgesetzt wurde, ist die Zerlegungsgruppe Z(𝔓|𝔭) kanonisch isomorph zu Gal((O_{K′}/𝔓)/(O_{K}/𝔭)). Dem Frobenius-Automorphismus wird unter diesem Isomorphismus der Automorphismus σ_{𝔓} ∈ Gal(K′/K) zugeordnet, der durch die Angaben

σ_{𝔓}(𝔓) ⊂ 𝔓 und σ_{𝔓}(x) ≡ x^{N𝔭} mod 𝔓 für alle x ∈ O_{K}

eindeutig bestimmt ist. Für jeden Automorphismus τ ∈ Gal(K′/ℚ) gilt σ_{τ(𝔓)} = τσ_{𝔓}τ^{−1}, denn für alle x ∈ K′ ist

τσ_{𝔓}τ^{−1}(x) − x^{Nτ(𝔭)} = τ(σ_{𝔓}(τ^{−1}(x)) − τ^{−1}(x)^{Nτ(𝔭)})) ∈ τ(𝔓),

da Nτ(𝔭) = N𝔭. Also ist τσ_{𝔓}τ^{−1}(x) ≡ x^{Nτ(𝔭)} mod τ(𝔓) für alle x ∈ O_{K}.

Falls K′/K eine abelsche Erweiterung ist, bedeutet das, dass der Automorphismus σ_{𝔓} nicht von der Wahl des Primideals 𝔓 über 𝔭 abhängt. In diesem Fall können wir jedem Primideal 𝔭 ⊂ O_{K} den so definierten Automorphismus σ_{𝔓} zuordnen und mit σ_{𝔭} bezeichnen. Er wird auch Artin-Automorphismus genannt.

Sei I(K) die Gruppe der gebrochenen Ideale von K und

φ̃ : I(K) → Gal(K′/K)

die Fortsetzung der durch 𝔭 ↦ σ_{𝔭} definierten Abbildung zu einem Gruppenhomomorphismus. Eines der grundlegenden Ergebnisse aus der Klassenkörpertheorie ist der folgende Satz:

Satz 2.1. Falls K′/K die maximale abelsche unverzweigte Erweiterung von K ist, induziert φ̃ einen Isomorphismus φ zwischen der Klassengruppe Cl(K) und der Galoisgruppe der Erweiterung.

Der Körper K′ wird in diesem Fall Hilbert’scher Klassenkörper von K genannt. Dass er über K endlichen Grad hat, ist aus der algebraischen Zahlentheorie bekannt. Nach dem vorhergehenden Satz ist diese Aussage äquivalent zur Endlichkeit der Klassenzahl.

Sei L/K eine beliebige galoissche Erweiterung von Zahlkörpern. Dann operiert die Galoisgruppe dieser Erweiterung auf der Idealklassengruppe von L: Falls τ ∈ Gal(L/K) ist und 𝔞 ein gebrochenes Ideal in L, ist τ(𝔞) ein gebrochenes Ideal in L, und die durch τ definierte Abbildung induziert einen Automorphismus der Klassengruppe.

Lemma 2.2. Sei L′ der Hilbert-Klassenkörper von L. Dann wird die Operation von Gal(L/K) auf der Idealklassengruppe von L durch φ mit der Konjugationsoperation von Gal(L/K) auf Gal(L′/L) identifiziert.

Beweis. Die Galoisgruppe Gal(L/K) operiert durch innere Automorphismen in Gal(L′/K) kanonisch auf der abelschen Gruppe Gal(L′/L). Sei τ ∈ Gal(L/K) und τ̃ ein Urbild in Gal(L′/K). Mit der gleichen Rechnung wie oben folgt τ ∘ σ_{𝔭} = τ̃σ_{𝔭}τ̃^{−1} = σ_{τ(𝔭)}, man erhält also durch Konjugation den Artin-Automorphismus zum Primideal τ(𝔭).

Sei L/K eine endliche galoissche Erweiterung von Zahlkörpern, 𝔓 ein Primideal in O_{L} und 𝔭 = 𝔓 ∩ O_{K′}. Wie üblich bezeichnen wir mit f den Trägheitsgrad von 𝔓 über 𝔭, also den Grad der Körpererweiterung O_{L}/𝔓 ⊃ O_{K′}/𝔭.

Lemma 2.3. Die Zuordnung 𝔓 ↦ 𝔭^{f} definiert einen Homomorphismus

Norm_{L/K} : Cl(L) → Cl(K)

zwischen den Klassengruppen von L und K.

Beweis. Zunächst kann man die Abbildung zu einem Homomorphismus zwischen den Gruppen der gebrochenen Ideale fortsetzen. Da Hauptideale auf Hauptideale abgebildet werden, erhält man nach Übergang zu den Quotienten eine Abbildung zwischen den Klassengruppen.

Lemma 2.4. Seien K′ und L′ die Klassenkörper von K und L. Dann ist das folgende Diagramm kommutativ:

\xymatrix{Cl(L) \ar[d]_{_{Norm_{L/K}}} \ar[r]^{φ} & Gal(L′/L) \ar[d] \\ Cl(K) \ar[r]^{φ} & Gal(K′/K)}

Die Abbildung Norm_{L/K} zwischen den Idealklassengruppen wird durch den Isomorhismus φ mit der Abbildung zwischen den Galoisgruppen identifiziert, die man durch Einschränkung der Körperautomorphismen erhält.

Beweis. Sei 𝔓 ein Primideal in O_{L}, 𝔭 = 𝔓∩O_{K} und f = f(𝔓|𝔭) der Trägheitsgrad. Wir müssen zeigen, dass σ_{Norm(𝔓)} = σ_{𝔭^{f}} = (σ_{𝔭})^{f} mit der Einschränkung von σ_{𝔓} auf K′ übereinstimmt. Falls 𝔓′ ein Primideal von L′ über 𝔓 ist und 𝔭′ = 𝔓′ ∩ O_{K′}, ist diese Einschränkung eindeutig bestimmt durch die Eigenschaften

σ_{𝔓}|_{K′}(𝔭′) ⊂ 𝔭′ und σ_{𝔓}(x) ≡ x^{N𝔓} mod 𝔭′ für alle x ∈ O_{K′}.

Nach Definition von σ_{𝔭} und wegen N𝔓 = N𝔭^{f} hat (σ_{𝔭})^{f} ebenfalls diese Eigenschaften.

2.2 Pro-p-Gruppen

Die Körpererweiterungen, die im Folgenden auftreten, werden unendliche Erweiterungen sein, die sich als Vereinigung von endlichen p-Erweiterungen ergeben. Ihre Galoisgruppen sind also Pro-p-Gruppen. Einen kurzen Überblick über solche Gruppen findet man im ersten Kapitel von [40], ausführlicher werden sie in den beiden Büchern [39] und [47] über pro-endliche Gruppen behandelt.

Definition. Pro-endliche Gruppen sind diejenigen topologische Gruppen, die sich als projektive Limites von endlichen Gruppen ergeben. Pro-p-Gruppen erhält man, wenn man sich dabei auf p-Gruppen einschränkt.

Die pro-endlichen Gruppen sind genau die kompakten total unzusammenhängenden topologischen Gruppen. Die Pro-p-Gruppen sind diejenigen pro-endlichen Gruppen, für die der Index jedes offenen Normalteilers eine p-Potenz ist.

In der Kategorie der Pro-p-Gruppen kann man genau wie für abstrakte Gruppen freie Objekte definieren, die auf endlichen Mengen durch die gewohnte universelle Eigenschaft beschrieben werden. Nur für unendliche Indexmengen wird die Definition leicht modifiziert ([40], §1.5):

Definition. Wir nennen eine Teilmenge einer pro-endlichen Gruppe konvergent, wenn jeder offene Normalteiler fast alle Elemente der Menge enthält.

Definition. Die freie Pro-p-Gruppe auf der Menge I ist eine Pro-p-Gruppe F_{I} zusammen mit Elementen s_{i} ∈ F_{I} für jedes i ∈ I, sodass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jede Abbildung φ von I in eine Pro-p-Gruppe G, deren Bild eine konvergente Teilmenge von G ist, gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus topologischer Gruppen f_{φ} : F_{I} → G, sodass f_{φ}(s_{i}) = φ(i) für alle i.

Freie Pro-p-Gruppen existieren für beliebige Indexmengen und können folgendermaßen konstruiert werden: Sei F (I) = ⟨s_{i}⟩_{i∈I} die freie Gruppe auf der Menge I und 𝔑 die Menge aller Normalteiler N von F (I), deren Index eine p-Potenz ist und die fast alle Elemente s_{i} enthalten. Dann ist

F_{I} = \underleftarrow{lim} F (I)/N,

wobei N die Normalteiler aus 𝔑 durchläuft, die freie Pro-p-Gruppe auf der Menge I.

Im Folgenden ist mit einem Erzeugendensystem einer pro-endlichen Gruppe immer ein topologisches Erzeugendensystem gemeint, also eine Menge, die eine dichte Untergruppe erzeugt. Die freie Pro-p-Gruppe F_{I} wird topologisch von den Elementen s_{i} erzeugt.

Die freie Pro-p-Gruppe mit einem Erzeuger ist die Gruppe ℤ_{p}, die man als projektiven Limes des Systems {ℤ/p^{n}ℤ} mit den offensichtlichen Projektionsabbildungen erhält. Ihre abgeschlossenen Untergruppen sind die Gruppen p^{n}ℤ_{p} für n ∈ ℕ_{0}, die als topologische Gruppen wieder zu ℤ_{p} isomorph sind.

Die Pro-p-Gruppe ℤ_{p} = \underleftarrow{lim} ℤ/p^{n}ℤ hat nicht nur eine Struktur als pro-endliche Gruppe, sondern ist sogar projektiver Limes von Ringen, also ein pro-endlicher topologischer Ring. Die Einheitengruppe in ℤ_{p} ist die Gruppe ℤ_{p}^{∗} = \underleftarrow{lim}(ℤ/p^{n}ℤ)^{∗}. Ihr Torsionsanteil ist die Untergruppe der (p − 1)-ten Einheitswurzeln, also eine zyklische Gruppe der Ordnung p − 1, und als torsionsfreien Anteil enthält sie einen Faktor, der zur additiven Gruppe ℤ_{p} isomorph ist. Bemerkung. So wie jede abelsche Gruppe ein ℤ-Modul ist, hat jede abelsche Pro-p-Gruppe in kanonischer Weise eine Struktur als ℤ_{p}-Modul.

Wie abstrakte Gruppen kann man Pro-p-Gruppen als Quotienten von freien Pro-p-Grup-pen schreiben und Präsentationen solcher Gruppen angeben:

Lemma 2.5. Jede Pro-p-Gruppe besitzt ein konvergentes Erzeugendensystem.

Einen Beweis findet man in [39] (Proposition 2.2.4). Mit der universellen Eigenschaft von freien Pro-p-Gruppen ergibt sich aus dem Lemma unmittelbar:

Korollar 2.6. Jede Pro-p-Gruppe ist Quotient einer freien Pro-p-Gruppe.

Für eine Pro-p-Gruppe G kann man eine Präsentation angeben, indem man ein konvergentes Erzeugendensystem {e_{i}|i ∈ I} wählt und den zugehörigen Epimorphismus von der freien Pro-p-Gruppe auf der Menge {e_{i}} in G betrachtet. Der Kern R dieser Abbildung besitzt als Pro-p-Gruppe ebenfalls ein konvergentes Erzeugendensystem {r_{j}|j ∈ J}. Man schreibt wie gewohnt G = ⟨e_{i}|r_{j}⟩ und verwendet diese Schreibweise auch dann, wenn {r_{j}} den Kern R nicht als Untergruppe, sondern als Normalteiler erzeugt.

2.3 ℤ_{p}-Erweiterungen von Zahlkörpern

Eine ℤ_{p}-Erweiterung eines Zahlkörpers K ist eine galoissche Körpererweiterung K_{∞} ⊃ K, deren Galoisgruppe als topologische Gruppe zur additiven Gruppe ℤ_{p} isomorph ist. Iwasawas Artikel [16] ist die erste einer Reihe von Veröffentlichungen, die sich mit den Eigenschaften solcher Erweiterungen beschäftigen.

Da die abgeschlossenen Untergruppen von ℤ_{p} genau die Gruppen der Form p^{n}ℤ_{p} sind, erhält man eine Kette

K = K_{0} ⊂ K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ ⋯ ⊂ K_{∞},

wobei K_{n} jeweils der Fixkörper von p^{n}ℤ_{p} ist, und außer diesen Körpern gibt es in einer ℤ_{p}-Erweiterung keine Zwischenkörper. Die Galoisgruppen der Teilerweiterungen K_{n}/K sind jeweils zyklische Gruppen der Ordnung p^{n}.

Der Körper der rationalen Zahlen hat, wie am Ende des Abschnitts gezeigt wird, genau eine ℤ_{p}-Erweiterung. Der n-te Zwischenkörper dieser Erweiterung ist im Kreisteilungskörper ℚ(ζ_{p^{n}}) enthalten. Das Primideal (p) ist also in jedem Zwischenkörper voll verzweigt ([32], Ch. II, Prop. 7.13). Wir untersuchen im übrigen Teil des Abschnitts, welche Art von Verzweigung in ℤ_{p}-Erweiterungen beliebiger Zahlkörper auftreten kann.

Im Zahlkörperfall sind die Ganzheitsringe Dedekindringe, sodass man den Begriff der Verzweigung mit Hilfe der eindeutigen Zerlegung von Idealen in Primideale definieren kann. Um den Fall unendlicher Zahlkörper einzuschließen, verwendet man für beliebige endliche oder unendliche galoissche Erweiterungen stattdessen die äquivalente Formulierung mit Trägheitsgruppen und Zerlegungsgruppen von Bewertungen ([32], II.9). Die oben genannte Beobachtung für ℚ ist ein Spezialfall der folgenden Aussage ([46], Lemma 13.3):

Lemma 2.7. Sei K_{∞}/K eine ℤ_{p}-Erweiterung mit Zwischenkörpern K_{n}. Dann gibt es eine Zahl n, sodass die Erweiterung K_{∞} ⊃ K_{n} bei allen verzweigten Fortsetzungen der p-adischen Bewertung von ℚ auf den Körper K_{∞} voll verzweigt ist.

Beweis. Seien T_{1}, T_{2}, …, T_{k} die Trägheitsgruppen der in K_{∞}/K verzweigten Bewertungen. Die Gruppe T = ⋂_{i} T_{i} ist als endlicher Durchschnitt abgeschlossener Untergruppen von Gal(K_{∞}/K) eine abgeschlossene Untergruppe, also von der Form p^{n}ℤ_{p} = Gal(K_{∞}/K_{n}) für ein n. Da die Galoisgruppe des zugehörigen Fixkörpers K_{n} in allen Trägheitsgruppen T_{i} enthalten ist, ist die Trägheitsgruppe jeder Fortsetzung der p-adischen Bewertung in Gal(K_{∞}/K_{n}) die ganze Galoisgruppe und diese Bewertungen sind damit voll verzweigt.

Wir bezeichnen mit μ_{n} die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln und mit μ_{p^{∞}} die Vereinigung der μ_{p^{k}}, also die Gruppe der Einheitswurzeln, deren Ordnung eine p-Potenz ist. Der Einfachheit halber werden wir in allen folgenden Abschnitten annehmen, dass p eine ungerade Primzahl ist, und damit die Schwierigkeiten umgehen, die bei p = 2 auftreten.

Ein weiterer Vorteil entsteht dadurch, dass wir uns über Verzweigung bei den archimedischen Stellen unserer Körper ab sofort keine Gedanken mehr machen müssen, da niemals Untergruppen oder Quotienten der Galoisgruppen mit Ordnung 2 auftreten. Wir können also vereinbaren, dass mit „unverzweigt“ im Folgenden immer „unverzweigt bei allen endlichen Stellen“ gemeint ist und uns dabei merken, dass die unendlichen Stellen für p-Erweiterungen keine Rolle spielen. Insbesondere werden in einer ℤ_{p}-Erweiterung K_{∞}/K mit K auch alle Zwischenkörper total reell sein.

Definition. Die zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung eines Zahlkörpers K ist die eindeutig bestimmte ℤ_{p}-Erweiterung von K, die man in der Erweiterung K(μ_{p^{∞}})/K findet.

Diese Teilerweiterung existiert tatsächlich, da Gal(K(μ_{p^{∞}})/K) zu einer offenen Untergruppe von Gal(ℚ(μ_{p^{∞}})/ℚ) ≅ ℤ_{p}^{∗} isomorph ist und da damit der Fixkörper der Torsionsuntergruppe die eindeutige ℤ_{p}-Erweiterung K_{∞}/K liefert.

Falls K die p-ten Einheitswurzeln enthält, bekommt man K_{∞} einfach durch Adjunktion aller Einheitswurzeln, deren Ordnung eine p-Potenz ist, denn in diesem Fall ist K(μ_{p^{∞}})/K bereits eine ℤ_{p}-Erweiterung.

Satz 2.8. In einer ℤ_{p}-Erweiterung können nur die Stellen verzweigen, die über p liegen.

Dieser Satz lässt sich elementar mit Hilfe der folgenden Aussage beweisen ([25], Ch. 6, Lemma 1.13):

Lemma 2.9. Sei K ein Zahlkörper, L eine endliche abelsche galoissche Erweiterung von K und T = T_{𝔭} die Trägheitsgruppe zu einem Primideal 𝔭 ⊂ O_{K}, das kein Teiler von [L : K] ist. Dann ist T zyklisch und die Ordnung von T ist ein Teiler von N𝔭 − 1.

Beweis. Sei D = D_{𝔭} die Zerlegungsgruppe von 𝔭 und 𝔓 eine Ideal in O_{L} über 𝔭. Die Restklassenkörper bezeichnen wir mit κ_{K} und κ_{L}. Um zu zeigen, dass |T | ein Teiler von N𝔭 − 1 = |κ∗_{K}| ist, geben wir einen Gruppenhomomorphismus φ : T → κ∗_{L} an und zeigen, dass φ injektiv ist und dass das Bild eine Teilmenge von κ_{K} ist.

Sei π ein Element aus 𝔓\𝔓^{2} und L^{T} der Fixkörper der Trägheitsgruppe, sodass die Erweiterung L/L^{T} bei 𝔓 voll verzweigt ist. Wie üblich bezeichnet e(𝔓|𝔭) den Verzweigungsindex und f(𝔓|𝔭) den Trägheitsgrad. Mit 𝔭′ = 𝔓 ∩ O_{L^{T}} gilt also e(𝔓|𝔭′) = [L : L^{T}] = [L_{𝔓} : L_{𝔭′}^{T}] und f(𝔓|𝔭′) = 1. Das Element π erzeugt die Vervollständigung L_{𝔓} über L_{𝔭′}^{T} und wegen der Gleichheit der Erweiterungsgrade gilt auch L^{T} (π) = L.

Sei φ̃ : D → κ∗_{L} die durch φ̃(σ) = \frac{σ(π)}{π} mod 𝔓 definierte Abbildung und φ die Einschränkung von φ̃ auf T. Seien σ, τ ∈ D mit σ(π) ≡ απ mod 𝔓^{2}, τ(π) ≡ βπ mod 𝔓^{2}. Dann gilt στ(π) ≡ ασ(β)π mod 𝔓^{2}, und damit

φ̃(στ) = φ̃(σ)\overline{σ}(φ̃(τ)),

wobei \overline{σ} den von σ induzierten Automorphismus des Restklassenkörpers bezeichnet. Insbesondere haben wir φ(στ) = φ(σ)φ(τ) für alle σ, τ ∈ T, die Einschränkung ist also ein Homomorphismus.

Für den Nachweis der Injektivität wählen wir ein Element σ ∈ ker(φ) mit Ordnung m. Per Induktion beweisen wir nun für jedes k ≥ 2 die Kongruenz σ(π) ≡ π mod 𝔓^{k}. Zunächst gilt \frac{σ(π)}{π} ≡ 1 mod 𝔓 ⇒ σ(π) ≡ π mod 𝔓^{2}, also die Aussage für k = 2. Sei σ(π) ≡ π mod 𝔓^{k} und a ∈ O_{L} mit σ(π) ≡ π + aπ^{k} mod 𝔓^{k+1}. Da f(𝔓|𝔭′) = 1, also O_{L}/𝔓 ≅ O_{L^{T}} /𝔭′, können wir o.B.d.A. annehmen, dass a im Fixkörper von σ liegt. Dann gilt σ^{2}(π) ≡ π + aπ^{k} + aσ(π^{k}) mod 𝔓^{k+1}, und wiederholtes Anwenden von σ liefert

π = σ^{m}(π) ≡ π + aπ^{k} + aσ(π^{k}) + ⋯ + aσ^{m−1}(π^{k}) mod 𝔓^{k+1}.

Da aus σ(π) ≡ π + aπ^{k} mod 𝔓^{k+1} sofort σ(π^{k}) ≡ π^{k} mod 𝔓^{k+1} folgt, gilt π ≡ π + m · aπ^{k} mod 𝔓^{k+1}. Das Element a muss in 𝔓 liegen, denn 𝔓 ist nach Voraussetzung kein Teiler von m. Damit ist

σ(π) ≡ π mod 𝔓^{k+1}.

Da diese Kongruenz für jedes k ≥ 2 gilt, haben wir σ(π) = π, und weil σ nach Voraussetzung außerdem auf L^{T} trivial operiert, gilt σ = id.

Als Letztes ist noch zu zeigen, dass das Bild von φ in κ_{K} liegt, also dass jedes Element φ(σ) fest bleibt unter der Operation der Galoisgruppe Gal(κ_{L}/κ_{K}). Die Elemente dieser Galoisgruppe sind von der Form \overline{τ} mit τ ∈ D. Da D nach Voraussetzung eine abelsche Gruppe ist, gilt

φ(τσ) = φ(στ) ⇒ φ(τ)\overline{τ}(φ(σ)) = φ(σ)φ(τ) ⇒ φ(σ) = \overline{τ}(φ(σ))

und damit φ(σ) ∈ κ_{K}, da diese Gleichung für alle τ ∈ D erfüllt ist.

Beweis von Satz 2.8 . Sei K_{∞}/K_{0} eine ℤ_{p}-Erweiterung mit Zwischenkörpern K_{n} und 𝔮 ein Primideal in K_{0}, das in K_{∞} verzweigt. Dann ist der Fixkörper der Trägheitsgruppe T = T_{𝔮} einer der Zwischenkörper K_{n}. In einer Erweiterung K_{m}/K_{n} mit m ≥ n ist die Trägheitsgruppe jedes Ideals 𝔔 über 𝔮 die gesamte Galoisgruppe, hat also Ordnung p^{m−n}. Nach dem letzten Lemma ist 𝔔 ein Primideal über p oder N𝔔 − 1 ist Vielfaches von p^{m−n} für jedes m ≥ n. Da der zweite Fall nicht möglich ist, muss 𝔔 über p liegen.

Satz 2.10. Die zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung ℚ_{∞}/ℚ ist die maximale abelsche außerhalb von p unverzweigte Pro-p-Erweiterung von ℚ, also die Vereinigung aller endlichen außerhalb von p unverzweigten p-Erweiterungen von ℚ.

Beweis. Wir müssen nach dem letzten Satz nur noch zeigen, dass jede endliche abelsche p-Erweiterung K von ℚ, in der höchstens die Primstelle p verzweigt, in ℚ(μ_{p^{∞}}) enthalten ist. Als p-Erweiterung ist sie dann auch in ℚ_{∞} enthalten.

Nach dem Satz von Kronecker und Weber ist K ein Teilkörper eines Kreisteilungskörpers ℚ(ζ_{n}). Falls l eine Primzahl ist, ist die Erweiterung ℚ(ζ_{l})/ℚ nur bei l verzweigt, und damit auch jede nichttriviale Teilerweiterung, da es keine unverzweigten Erweiterungen von ℚ gibt. Damit gilt K ∩ ℚ(ζ_{l}) = ℚ für l ≠ p, also kann n als p-Potenz gewählt werden.

2.4 Pro-endliche Ringe und die Iwasawa-Algebra

Die Iwasawa-Algebra Λ wird zunächst als vollständige Gruppenalgebra einer unendlichen Galoisgruppe definiert; das wichtigste Resultat in diesem Abschnitt wird allerdings sein, dass sie zum Potenzreihenring ℤ_{p}[[T]] isomorph ist. Deshalb benötigen wir einige Aussagen über Potenzreihen mit Koeffizienten in ℤ_{p}. Die Resultate aus diesem Abschnitt findet man in [33], Ch. V, §2-3 und [46], Ch. 7 wieder.

Definition. Für einen kommutativen pro-endlichen Ring R und eine pro-endliche Gruppe G definiert man die vollständige Gruppenalgebra R[[G]] als projektiven Limes \underleftarrow{lim} R[G/N], wobei N die offenen Normalteiler von G durchläuft.

Bemerkung. 1. Die Gruppenalgebra R[G/N] ist als topologischer R-Modul isomorph zu R^{[G:N]}. Da die Multiplikation stetig ist, wird R[G/N] ein topologischer Ring.

2. Man kann R[[G]] auch als projektiven Limes \underleftarrow{lim}(R/I)[G/N] definieren, wobei I dann die offenen Ideale von R durchläuft.

Der Potenzreihenring ℤ_{p}[[T]] in einer Variablen über ℤ_{p} ist der Ring, den man als Vervollständigung von ℤ[T] bei dem maximalen Ideal (p, T) erhält, es gilt mit anderen Worten

ℤ_{p}[[T]] = \underleftarrow{lim} ℤ[T]/(p, T)^{n}.

Insbesondere ist ℤ_{p}[[T]] mit der (p, T)-adischen Topologie ein kompakter topologischer Ring und als Vervollständigung eines noetherschen Rings bei einem maximalen Ideal wieder noethersch. Die Einheiten in ℤ_{p}[[T]] sind genau die Potenzreihen, deren konstanter Koeffizient eine Einheit in ℤ_{p} ist. Der Ring ℤ_{p}[[T]] ist also noetherscher lokaler Ring mit (p, T) als maximalem Ideal ([9], Thm. 7.1 bzw. Cor. 7.11).

Satz 2.11. Sei g = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}T^{i} ∈ ℤ_{p}[[T]]\pℤ_{p}[[T]] und d der kleinste Index, für den a_{d} nicht durch p teilbar ist. Dann gibt es zu jedem Element f(T) ∈ ℤ_{p}[[T]] ein eindeutig bestimmtes Polynom r(T) ∈ ℤ_{p}[T] vom Grad deg(r) < d und ein Element h(T) ∈ ℤ_{p}[[T]], sodass f(T) = g(T)h(T) + r(T).

Beweis. Im Quotienten ℤ_{p}[[T]]/pℤ_{p}[[T]] ≅ 𝔽_{p}[[T]] erzeugt das Bild ḡ = T^{d} ∑_{i=d}^{∞} ā_{i}T^{i−d} von g das Ideal (T^{d}), sodass sich jede Reihe aus 𝔽_{p}[[T]] darstellen lässt als ḡ(T)h̄(T)+r̄(T) mit einem Polynom r̄(T) vom Grad deg(r) < d. Insbesondere können wir also r_{1}, h_{1} ∈ ℤ_{p}[[T]] so wählen, dass f̄(T) = ḡ(T)h̄_{1}(T) + r̄_{1}(T) in 𝔽_{p}[[T]]. In ℤ_{p}[[T]] findet man dann ein Element f_{1}(T) mit f(T) = g(T)h_{1}(T) + r_{1}(T) + pf_{1}(T). Anwenden desselben Arguments auf f_{1} liefert Elemente f′_{1}, h′_{1}, f_{2} ∈ ℤ_{p}[[T]] mit f_{1}(T) = g(T)h′_{1}(T) + r′_{1}(T) + pf_{2}(T), sodass

f(T) = g(T)(h_{1}(T) + ph′_{1}(T)) + (r_{1}(T) + pr′_{1}(T)) + p^{2}f_{2}(T)
= g(T)h_{2}(T) + r_{2}(T) + p^{2}f_{2}(T).

Induktiv erhält man für jedes n eine Gleichung

f(T) = g(T)h_{n}(T) + r_{n}(T) + p^{n}f_{n}(T)

mit Polynomen r_{n} vom Grad kleiner als d und

h_{n+1}(T) ≡ h_{n}(T) mod p^{n}ℤ_{p}[[T]], r_{n+1}(T) ≡ r_{n}(T) mod p^{n}ℤ_{p}[T].

Für jeden Koeffizienten existiert der Grenzwert in ℤ_{p}. Damit hat die Folge h_{n}(T) einen Grenzwert h(T) in ℤ_{p}[[T]] und als Grenzwert von r_{n}(T) erhält man ein Polynom r(T), dessen Grad höchstens d ist.

Für den Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, f(T) = g(T)h′(T) + r′(T) sei eine weitere Darstellung von dieser Form, sodass r(T) ≠ r′(T). Sei r(T) − r′(T) = p^{k}s(T) mit einem Polynom s(T), das nicht durch p teilbar ist. Da p prim ist, folgt aus r(T) − r′(T) = g(T)(h′(T) − h(T)), dass s(T) Vielfaches von g(T) ist. In dem Quotienten ℤ_{p}[[T]]/pℤ_{p}[[T]] ist s(T) ≠ 0 ein Polynom mit Grad höchstens d − 1, und die ersten d Koeffizienten von g sind 0. Das ist ein Widerspruch.

Definition. Ein normiertes Polynom T^{n} + a_{n−1}T^{n−1} + ⋯ + a_{0} ∈ ℤ_{p}[T], dessen Koeffizienten a_{0}, …, a_{n−1} im maximalen Ideal (p) von ℤ_{p} liegen, nennen wir Weierstraß-Polynom.

Korollar 2.12 (p-adischer Weierstraß’scher Vorbereitungssatz). Jedes Element g(T) aus ℤ_{p}[[T]]\pℤ_{p}[[T]] lässt sich eindeutig als Produkt eines Weierstraß-Polynoms und einer Einheit aus ℤ_{p}[[T]] schreiben. Der Grad des Polynoms ist der kleinste Index d, für den der Koeffizient von T^{d} in der Potenzreihe g(T) nicht durch p teilbar ist.

Beweis. Aus der Eindeutigkeit des Polynoms r(T) in Satz 2.11 folgt, dass die Abbildung

φ : ℤ_{p}[[T]]/(g(T)) → ℤ_{p}[[T]]/(T^{d})
f(T) + (g(T)) ↦ r(T)

ein Isomorphismus von ℤ_{p}-Moduln ist. Damit ist ℤ_{p}[[T]]/(g(T)) als ℤ_{p}-Modul isomorph zu ℤ_{p}^{d}. Das Element T definiert eine lineare Abbildung ℤ_{p}[[T]]/(g(T)) → ℤ_{p}[[T]]/(g(T)), deren charakteristisches Polynom χ(T), aufgefasst als Homomorphismus auf dem Modul, nach Cayley-Hamilton die Nullabbildung ist. Da χ(T) ein normiertes Polynom vom Grad d ist, haben wir wie oben einen Isomorphismus ℤ_{p}[[T]]/(χ(T)) → ℤ_{p}[[T]]/(T^{c}), wobei c ≤ d der kleinste Index ist, sodass der dazugehörige Koeffizient von χ(T) nicht in (p) liegt.

Andererseits faktorisiert die Projektionsabbildung ℤ_{p}[[T]] → ℤ_{p}[[T]]/(g(T)) über den Quotienten ℤ_{p}[[T]]/(χ(T)), und damit gilt d ≤ c. Die Abbildung zwischen ℤ_{p}[[T]]/(χ(T)) und ℤ_{p}[[T]]/(g(T)) ist also ein Isomorphismus, das heißt, dass die Ideale (χ(T)) und (g(T)) gleich sind, und wegen c = d hat das Polynom χ(T) die gewünschte Form. Die Eindeutigkeit des Polynoms folgt sofort aus Satz 2.11 mit f(T) = 0.

Aus dem Vorbereitungssatz kann man insbesondere sehen, dass ℤ_{p}[[T]] ein faktorieller Ring ist. Eine weitere Beobachtung, die sich sofort ergibt, ist das folgende Lemma:

Lemma 2.13. Für jedes Element f ∈ ℤ_{p}[[T]], das keine Einheit ist, hat der Quotient ℤ_{p}[[T]]/(f) unendlich viele Elemente.

Beweis. Falls f Vielfaches von p ist, ist ℤ_{p}[[T]]/(p) = 𝔽_{p}[[T]] ein Quotient von ℤ_{p}[[T]]/(f), und damit ist dieser unendlich. Falls f ∉ (p), können wir annehmen, dass f ein Weierstraß-Polynom vom Grad d ≤ 1 ist, und in diesem Fall gilt ℤ_{p}[[T]]/(f) ≅ ℤ_{p}^{d}.

Lemma 2.14. Für jedes Weierstraß-Polynom h(T) ∈ ℤ_{p}[T] ist die kanonische Abbildung

ℤ_{p}[T]/(h(T)) → ℤ_{p}[[T]]/(h(T))

ein Isomorphismus.

Beweis. Die Abbildung ist offenbar injektiv. Sie ist surjektiv, denn nach Satz 2.11 lässt sich jedes Element f(T) ∈ ℤ_{p}[[T]] schreiben als f(T) = α(T)h(T) + r(T) mit einem Element α(T) ∈ ℤ_{p}[[T]] und einem Polynom r(T).

Lemma 2.15. Sei h_{n}(T) = (1 + T)^{p^{n}} − 1. Dann gilt ℤ_{p}[[T]] ≅ \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[[T]]/(h_{n}(T)).

Beweis. Da h_{n+1}(T) jeweils das Produkt von h_{n}(T) und dem Element ((1 + T)^{p^{n}(p−1)} + ⋯ + (1 + T)^{p^{n}} + 1) ∈ (p, T) ist, sieht man induktiv, dass h_{n}(T) ∈ (p, T)^{n} für jedes n. Damit ist die kanonische Abbildung φ : ℤ_{p}[[T]] → \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[[T]]/(h_{n}(T)) wegen ⋂(h_{n}(T)) ⊂ ⋂(p, T)^{n} = 0 injektiv.

Sei (f_{n}) ∈ \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[[T]]/(h_{n}(T)) beliebig. Dann gilt f_{n} ≡ f_{m} mod (h_{n}(T)) für n < m. Der Grenzwert f = lim_{n→∞} f_{n} existiert in ℤ_{p}[[T]], denn (h_{n}(T)) ⊂ (p, T)^{n} und ℤ_{p}[[T]] ist vollständig in der (p, T)-adischen Topologie. Da φ den Grenzwert f auf (f_{n}) abbildet, ist die Abbildung surjektiv.

Als stetiger Homomorphismus zwischen kompakten Mengen ist φ ein Isomorphismus.

Bemerkung. Die Quotiententopologie auf ℤ_{p}[[T]]/(h_{n}(T)) stimmt mit der Produkttopologie überein, die man erhält, wenn man ℤ_{p}[[T]]/(h_{n}(T)) mit ℤ_{p}^{p^{n}} identifiziert.

Sei K_{∞}/K_{0} eine ℤ_{p}-Erweiterung des Zahlkörpers K_{0} mit (multiplikativ geschriebener) Galoisgruppe Γ = Gal(K_{∞}/K_{0}) und Zwischenkörpern K_{n}, die man als Fixkörper der abgeschlossenen Untergruppen Γ^{p^{n}} = {α^{p^{n}}|α ∈ Γ} erhält. Die Galoisgruppe der Teilerweiterung K_{n}/K_{0} bezeichnen wir mit Γ_{n}.

Definition. Die Iwasawa-Algebra Λ ist die vollständige Gruppenalgebra der Gruppe Γ mit Koeffizienten in ℤ_{p}:

Λ = ℤ_{p}[[Γ]] = \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[Γ_{n}].

Satz 2.16. Sei γ ein topologischer Erzeuger von Γ = \underleftarrow{lim} Γ_{n}. Dann ist die Abbildung

ℤ_{p}[[Γ]] → ℤ_{p}[[T]],
γ ↦ T + 1,

ein Isomorphismus topologischer Ringe.

Beweis. Als zyklische Gruppe der Ordnung p^{n} hat Γ_{n} die Präsentation ⟨γ|γ^{p^{n}} = 1⟩. Die Abbildung

ℤ_{p}[Γ_{n}] → ℤ_{p}[U]/(U^{p^{n}} − 1),
γ ↦ U

ist offenbar ein Isomorphismus. Setzen wir T = U − 1, h_{n}(T) = (1 + T)^{p^{n}} − 1, so ist h_{n} ein Weierstraß-Polynom, es gilt ℤ_{p}[U]/(U^{p^{n}} − 1) ≅ ℤ_{p}[T]/(h_{n}(T)) und das Diagramm

\xymatrix{ℤ_{p}[Γ_{n}] \ar[d] \ar[r] & ℤ_{p}[T]/(h_{n}(T)) \ar[d] \\ ℤ_{p}[Γ_{n−1}] \ar[r] & ℤ_{p}[T]/(h_{n−1}(T))}

ist kommutativ. Aus Lemma 2.14 folgt \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[T]/(h_{n}(T)) ≅ \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[[T]]/(h_{n}(T)) und damit aus

\underleftarrow{lim} ℤ_{p}[Γ_{n}] ≅ \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[T]/(h_{n}(T)) ≅ \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[[T]]/(h_{n}(T)) ≅ ℤ_{p}[[T]]

die Behauptung.

Bemerkung. 1. Der Isomorphismus Λ → ℤ_{p}[[T]] ist nicht eindeutig, da er von der Wahl eines Erzeugers von Γ abhängt. Nützlich ist die Isomorphie vor allem, weil die Struktur von ℤ_{p}[[T]]-Moduln mit Hilfe von Polynomen und Potenzreihen untersucht werden kann.

2. Ein endlich erzeugter Λ-Modul M kann nur auf eine Weise zu einem topologischen Modul gemacht werden. Die Topologie, die man durch die 0-Umgebungen (p, T)^{n} · M auf M erhält, stimmt also immer mit der gegebenen Topologie überein. Außerdem sind alle Λ-Homomorphismen zwischen endlich erzeugten Moduln stetig ([33], Prop. 5.2.22). Solange wir also mit endlich erzeugten Moduln arbeiten, spielt es keine Rolle, ob wir Λ-Moduln oder topologische Λ-Moduln betrachten.

2.5 Galoisgruppen als Moduln über der Iwasawa-Algebra

Wir betrachten in den folgenden Abschnitten eine (zunächst beliebige) ℤ_{p}-Erweiterung K_{∞}/K_{0} eines Zahlkörpers K_{0} mit Zwischenkörpern K_{n}. Um Regelmäßigkeiten im Verhalten der Klassengruppen dieser Körper untersuchen zu können, betrachtet man als Hilfsmittel die Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten p-Erweiterung von K_{∞}. Diese Gruppe wird ein Modul über der Iwasawa-Algebra, dessen Eigenschaften später bei der Untersuchung eines größeren Moduls nützlich sein werden.

Lemma 2.17. Sei F eine endliche unverzweigte Erweiterung von K_{∞}. Dann gibt es eine Zahl n und eine endliche unverzweigte Erweiterung F_{n}/K_{n}, sodass F = F_{n}K_{∞}.

Beweis. Wir können eine endliche Erweiterung F_{0} von K_{0} wählen, sodass F = F_{0}K_{∞}. Sei F_{n} = F_{0}K_{n}, sodass F die Vereinigung aller F_{n} ist und F = F_{n}K_{∞} für jedes n. Außerdem setzen wir

G_{n} = Gal(F/K_{n}), G = ⋂_{n=0}^{∞} G_{n} = Gal(F/K_{∞}) und
H_{n} = Gal(F/F_{n}).

Die Gruppen G_{n} und H_{n} sind offene Untergruppen von Gal(F/K_{0}), und es gilt G∩H_{n} = {1}.

Sei v eine Bewertung von K_{0}, die in der Erweiterung F_{0}/K_{0} verzweigt, und T die Trägheitsgruppe einer Fortsetzung in Gal(F/K_{0}). Die Trägheitsgruppen der verschiedenen Fortsetzungen von v erhält man dann aus T durch Konjugation mit Elementen aus Gal(F/K_{0}). Da F/K_{∞} als unverzweigt vorausgesetzt wurde, gilt σT σ^{−1} ∩ G = {1} für alle σ ∈ Gal(F/K_{0}).

Es gilt ⋂(G_{n}\H_{n}) = G\{1}, also

⋂_{n}(σT σ^{−1} ∩ (G_{n}\H_{n})) = σT σ^{−1} ∩ (G\{1}) = ∅.

Wegen der Kompaktheit von Gal(F/K_{0}) gibt es einen Index n, ab dem σT σ^{−1} ∩(G_{n}\H_{n}) = ∅ und damit σT σ^{−1} ∩ G_{n} ⊂ H_{n}. Für alle Elemente τ ∈ H_{n} gilt dann ebenfalls (τσ)T (τσ)^{−1} ∩ G_{n} ⊂ H_{n}. Jedes Element σ ∈ Gal(F/K_{0}) hat also eine offene Umgebung H_{n}σ, sodass für alle Elemente ρ aus H_{n}σ derselbe Index n gewählt werden kann. Die Kompaktheit von Gal(F/K_{0}) impliziert dann, dass ein Index n_{0} für alle σ gewählt werden kann. Das bedeutet, dass F_{n_{0}}/K_{n_{0}} bei allen Fortsetzungen von v unverzweigt ist. Da nur endlich viele Bewertungen von K_{0} in F_{0} verzweigen können, gibt es einen Index n_{1}, ab dem die Erweiterungen F_{n}/K_{n} bei allen darüberliegenden Stellen unverzweigt sind und damit dann bei allen Stellen.

Satz 2.18. Für jedes n sei L_{n} die maximale abelsche unverzweigte p-Erweiterung von K_{n}. Dann ist die Vereinigung L = ⋃ L_{n} die maximale abelsche unverzweigte p-Erweiterung von K_{∞}, und die Galoisgruppe der Erweiterung L/K_{∞} ist als topologische Gruppe kanonisch isomorph zu \underleftarrow{lim} Gal(L_{n}/K_{n}).

Beweis. Für die erste Behauptung zeigen wir, dass sich jede endliche galoissche abelsche unverzweigte Erweiterung F/K_{∞} durch Hochheben einer endlichen galoisschen abelschen unverzweigten Erweiterung eines der Zwischenkörper K_{n} ergibt, also dass es eine solche Erweiterung F_{n} von K_{n} gibt mit F = F_{n}K_{∞}.

Sei F_{0} zunächst irgendeine endliche Erweiterung von K_{0} mit K_{∞}F_{0} = F. Nach Übergang zum normalen Abschluss können wir annehmen, dass die Erweiterung F_{0}/K_{0} galoissch ist. Der Körper K_{∞} ∩ F_{0} ist ein Zwischenkörper der Erweiterung K_{∞}/K_{0}, also von der Form K_{n} für ein n ∈ ℕ_{0}, und für dieses n gilt Gal(F_{0}/K_{n}) ≅ Gal(F/K_{∞}). Die Erweiterung F_{0}/K_{n} ist damit abelsch, und die Erweiterung F/K_{∞} ergibt sich durch Hochheben dieser Erweiterung. Nach Lemma 2.17 kann man n so groß wählen, dass F_{0}K_{n}/K_{n} unverzweigt ist.

Für die zweite Behauptung stellen wir zunächst fest, dass

Gal(L/K_{∞}) = \underleftarrow{lim} Gal(L_{n}K_{∞}/K_{∞}),

da ⋃_{n} L_{n} auch als Vereinigung ⋃_{n} L_{n}K_{∞} geschrieben werden kann. Die Erweiterung L_{n} ⊃ K_{n} ist unverzweigt für alle n, und wir können N ∈ ℕ so groß wählen, dass die Erweiterung K_{∞} ⊃ K_{n} voll verzweigt ist, falls n ≥ N. Dann gilt L_{n} ∩ K_{∞} = K_{n} für n ≥ N, also ist die Restriktionsabbildung Gal(L_{n}K_{∞}/K_{∞}) → Gal(L_{n}/K_{n}) ein Isomorphismus. Daraus folgt

Gal(L/K_{∞}) ≅ \underleftarrow{lim} Gal(L_{n}K_{∞}/K_{∞}) ≅ \underleftarrow{lim} Gal(L_{n}/K_{n})

als topologische Gruppen.

Die maximale abelsche unverzweigte p-Erweiterung X

Sei X_{n} die p-Klassengruppe von K_{n}, also der maximale p-Quotient der Idealklassengruppe von K_{n}. Als abelsche p-Gruppe ist X_{n} in kanonischer Weise ein ℤ_{p}-Modul. Nach Klassenkörpertheorie gilt X_{n} ≅ Gal(L_{n}/K_{n}), und die Abbildungen Norm_{L_{n}/K_{n}} : X_{n} → X_{n−1} aus Abschnitt 2.1 werden durch diesen Isomorphismus mit den Restriktionsabbildungen auf den Galoisgruppen identifiziert.

Die Galoisgruppe Γ_{n} = Gal(K_{n}/K_{0}) operiert einerseits auf der Idealklassengruppe von K_{n} und dadurch auch auf X_{n}, andererseits durch Konjugation auf Gal(L_{n}/K_{n}). Dass sich diese Operationen identifizieren lassen, haben wir uns ebenfalls schon in Abschnitt 2.1 überlegt und erhalten deshalb eine eindeutige ℤ_{p}[Γ_{n}]-Modulstruktur auf X_{n}. Sei

X = Gal(L/K_{∞}) = \underleftarrow{lim} Gal(L_{n}/K_{n})

die Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten p-Erweiterung von K_{∞}. Das folgende Diagramm fasst die Situation noch einmal zusammen:

[figure: L; K_{∞}; X; Γ; L_{n}; K_{n}; Γ_{n}; X_{n}; K_{0}]

Lemma 2.19. Die ℤ_{p}[Γ_{n}]-Modulstrukturen auf X_{n} induzieren eine Λ-Modulstruktur auf X, die diese Gruppe zu einem kompakten topologischen Λ-Modul macht.

Beweis. Seien (τ_{n}) ∈ \underleftarrow{lim} Γ_{n} und (σ_{n}) ∈ \underleftarrow{lim} X_{n} mit Elementen τ_{n} ∈ Gal(K_{n}/K_{0}) und σ_{n} ∈ Gal(L_{n}/K_{n}). Die Operation von τ_{n} auf Gal(L_{n}/K_{n}) ist durch Konjugation mit einer Hochhebung τ̃_{n} in Gal(L_{n}/K_{0}) gegeben, und es gilt

τ̃_{n}σ_{n}τ̃_{n}^{−1}|_{L_{n−1}} = τ̃_{n−1}σ_{n−1}τ̃_{n−1}^{−1},

da τ̃_{n}|_{L_{n−1}} eine Hochhebung von τ_{n−1} = τ_{n}|_{K_{n−1}} ist.

Also liegt (τ_{n}) ∘ (σ_{n}) = (τ̃_{n}σ_{n}τ̃_{n}^{−1}) ∈ ∏_{n} X_{n} wieder in \underleftarrow{lim} X_{n}, und damit wird X zu einem Λ-Modul. Die Operation ist als Einschränkung der stetigen Operation ∏_{n} Γ_{n} × ∏_{n} X_{n} → ∏_{n} X_{n} auf den Teilraum \underleftarrow{lim} Γ_{n} × \underleftarrow{lim} X_{n} ebenfalls stetig. Als Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten Erweiterung von K_{∞} ist X hausdorffsch und kompakt, also kompakter topologischer Λ-Modul.

Im restlichen Teil des Abschnitts folgen wir der Darstellung von Washington ([46], §13.3) und gehen zunächst von einer einfacheren Situation aus, die zum Beispiel für die zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung ℚ_{∞}/ℚ vorliegt:

Annahme. Alle in K_{∞}/K_{0} verzweigten Stellen sind voll verzweigt.

Dieser Fall lässt sich leichter behandeln und später auf den allgemeinen Fall anwenden, indem man K_{0} durch einen Zwischenkörper K_{n} ersetzt, sodass die Annahme für K_{∞}/K_{n} gilt.

Lemma 2.20. Sei γ ein Erzeuger von Γ = Gal(K_{∞}/K_{0}). Dann ist der Abschluss der Kommutatoruntergruppe von Gal(L/K_{0}) durch (γ − 1)X gegeben.

Beweis. Sei v eine Bewertung von K_{0}, die in K_{∞} voll verzweigt ist, und T = T_{v}(K_{∞}/K_{0}) die zugehörige Trägheitsgruppe in Gal(L/K_{0}). Dann wird T unter der Restriktionsabbildung Gal(L/K_{0}) → Gal(K_{∞}/K_{0}) bijektiv auf Γ = Gal(K_{∞}/K_{0}) abgebildet. Sei [a, b] = aba^{−1}b^{−1} mit a, b ∈ Gal(L/K_{0}) ein Erzeuger der Kommutatoruntergruppe. Da Gal(L/K_{0}) semidirektes Produkt der Gruppen Γ und X ist, gibt es Elemente α, β ∈ T und x, y ∈ X mit a = αx, b = βy.

Wir schreiben „∘“ für die Operation von Γ auf X und „·“ für die Verknüpfung in der abelschen Gruppe X. Es gilt

aba^{−1}b^{−1} = αxβyx^{−1}α^{−1}y^{−1}β^{−1}
= αxα^{−1}αβyx^{−1}α^{−1}y^{−1}β^{−1}
= αxα^{−1}αβyx^{−1}(αβ)^{−1}αβα^{−1}y^{−1}β^{−1}
= αxα^{−1}αβx^{−1}y(αβ)^{−1}βy^{−1}β^{−1}
= (αxα^{−1}) · (αβx^{−1}(αβ)^{−1}) · (αβy(αβ)^{−1}) · (βy^{−1}β^{−1})
= (αxα^{−1}) · (β(αx^{−1}α^{−1})β^{−1}) · (α(βyβ^{−1})α^{−1}) · (βy^{−1}β^{−1})
= (1 − β) ∘ (αx^{−1}α^{−1}) · (α − 1) ∘ (βyβ^{−1}).

Dabei identifizieren wir die Elemente α und β mit den entsprechenden Elementen aus Γ. Wegen 1 − β ∈ (γ − 1) und α − 1 ∈ (γ − 1) gilt aba^{−1}b^{−1} ∈ (γ − 1)X. Damit ist gezeigt, dass die Kommutatoruntergruppe in (γ − 1)X enthalten ist. Da die Menge (γ − 1)X als stetiges Bild der kompakten Menge X abgeschlossen ist, enthält sie auch den Abschluss der Kommutatoruntergruppe.

Umgekehrt: Für ein beliebiges Element y ∈ X gilt

(1 − γ) ∘ y = y · (γyγ^{−1})^{−1} = (γ ∘ 1) · (1 ∘ y) · (γ ∘ 1)^{−1} · (1 ∘ y)^{−1},

also ist der Untermodul (γ − 1)X in der Kommutatoruntergruppe von Gal(L/K_{0}) enthalten.

Seien v_{1}, …, v_{s} die Bewertungen von K_{0}, die in K_{∞} verzweigt sind, und T_{1}, …, T_{s} die zugehörigen Trägheitsgruppen in Gal(L/K_{0}). Nach unserer Annahme ist die Zusammensetzung T_{i} ↪ Gal(L/K_{0}) → Γ für alle i bijektiv und T_{i} ∩ X = {id}. Sei σ_{i} das Urbild des Erzeugers γ in T_{i} und a_{i} für i ≥ 2 das eindeutig bestimmte Element aus X mit σ_{i} = a_{i}σ_{1}.

Lemma 2.21. Sei Y_{0} der ℤ_{p}-Untermodul von X, der von (γ − 1)X und den Elementen a_{2}, a_{3}, …, a_{s} erzeugt wird, und für jedes n ∈ ℕ sei Y_{n} = (1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})Y_{0}. Dann gilt X_{n} = X/Y_{n} für jedes n.

Beweis. Zunächst zeigen wir die Aussage für n = 0. Die Gruppe X_{0} = Gal(L_{0}/K_{0}) ist die Galoisgruppe der größten abelschen unverzweigten p-Erweiterung von K_{0}. Da L eine p-Erweiterung ist, die L_{0} enthält, ist L_{0} die größte abelsche unverzweigte in L enthaltene Erweiterung von K_{0}. Die Galoisgruppe X_{0} ist damit der Quotient von Gal(L/K_{0}) und der abgeschlossenen Untergruppe, die von der Kommutatoruntergruppe von Gal(L/K_{0}) und den Trägheitsgruppen T_{i} erzeugt wird. Also gilt

X_{0} = Gal(L/K_{0})/ Gal(L/L_{0}) = XT_{1}/\overline{⟨(γ − 1)X, T_{1}, a_{2}, …, a_{s}⟩} = X/\overline{⟨(γ − 1)X, a_{2}, …, a_{s}⟩}.

Für n ≥ 1 ist Gal(K_{∞}/K_{n}) = Γ^{p^{n}} ≅ ℤ_{p}, und die Trägheitsgruppen T̃_{i} der verzweigten Bewertungen erhält man als Schnitt von T_{i} und Gal(L/K_{n}), also werden sie von den Elementen σ_{i}^{p^{n}} erzeugt. Die Abbildung T̃_{i} → Gal(L/K_{n})/ Gal(L/K_{∞}) = Γ^{p^{n}} ist für jedes i ein Isomorphismus, und T_{i} = ⟨σ_{i}^{p^{n}}⟩ = ⟨(a_{i}σ_{1})^{p^{n}}⟩. Das Element (a_{i}σ_{1})^{p^{n}} lässt sich schreiben als

(a_{i}σ_{1})^{p^{n}} = a_{i}(σ_{1}a_{i}σ_{1}^{−1})(σ_{1}^{2}a_{i}σ_{1}^{−2}) ⋯ (σ_{1}^{p^{n}−1}a_{i}σ_{1}^{−p^{n}−1})σ_{1}^{p^{n}} = ((1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1}) ∘ a_{i})σ_{1}^{p^{n}}.

Damit wird die Galoisgruppe Gal(L/L_{n}) erzeugt von T̃_{1}, den Elementen σ_{i}^{p^{n}} = ((1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1}) ∘ a_{i})σ_{1}^{p^{n}} und der Kommutatoruntergruppe (γ^{p^{n}} − 1)X = (1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})(1 − γ)X von Gal(L/K). Wie im ersten Teil folgt jetzt

X_{n} = Gal(L/K_{n})/ Gal(L/L_{n})
= XT̃_{1}/\overline{⟨(γ^{p^{n}} − 1)X, T̃_{1}, (1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})a_{2}, …, (1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})a_{s}⟩}
= X/\overline{⟨(γ^{p^{n}} − 1)X, (1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})a_{2}, …, (1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})a_{s}⟩}
= X/(1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})Y_{0} = X/Y_{n}.

Für den allgemeinen Fall, dass die Erweiterung K_{∞}/K_{0} nicht bei allen Stellen voll verzweigt ist, wählen wir mit Hilfe von Lemma 2.7 eine Zahl e ≥ 0, sodass unsere Voraussetzung für K_{∞}/K_{e} gilt. Das Bild der Trägheitsgruppe T̃_{i} einer voll verzweigten Bewertung unter der Restriktionsabbildung Gal(L/K_{e}) → Gal(K_{∞}/K_{e}) = Γ^{p^{e}} ist dann wieder die ganze Gruppe. Ähnlich wie oben bezeichnen wir mit σ̃_{i} das Urbild des Erzeugers γ^{p^{e}} von Γ^{p^{e}} und mit ã_{i} die entsprechenden Elemente aus X mit σ̃_{i} = ã_{i}σ̃_{1}.

Betrachtet man also statt der Erweiterung K_{∞}/K_{0} die Erweiterung K_{∞}/K_{e}, so hat das Lemma die folgende Form:

Lemma 2.22. Sei Y_{e} der ℤ_{p}-Untermodul von X, der von (γ^{p^{e}} − 1)X und den Elementen ã_{2}, …, ã_{s} erzeugt wird, und für n ≥ e sei Y_{n} = (1 + γ^{p^{e}} + γ^{2p^{e}} + ⋯ + γ^{p^{n}−p^{e}})Y_{e}. Dann gilt X_{n} = X/Y_{n} für alle n ≥ e.

Satz 2.23 (Topologisches Nakayama-Lemma). Sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal 𝔪, der kompakt ist bezüglich der 𝔪-adischen Topologie. Ist M ein kompakter topologischer R-Modul, für den der Quotient M/𝔪M endliche Gruppe ist, so ist M als R-Modul endlich erzeugt.

Beweis. Sei U eine beliebige Nullumgebung in M. Da die Abbildung R × M → M stetig ist, gibt es zu jedem z ∈ M eine Potenz 𝔪^{n} des maximalen Ideals und eine Umgebung U_{z} von z mit 𝔪^{n}U_{z} ⊂ U. Aus der Kompaktheit von M folgt, dass eine Zahl n ∈ ℕ existiert mit 𝔪^{n}M ⊂ U. Da U beliebig gewählt werden kann, folgt daraus, dass ⋂_{n} 𝔪^{n}M = {0}.

Seien nun x_{1}, …, x_{n} endlich viele Elemente aus M, deren Bilder den ℤ-Modul M/𝔪M erzeugen, und N der von x_{1}, …, x_{n} erzeugte R-Modul. Die Abbildung R^{n} → X, die ein Tupel (r_{1}, …, r_{n}) auf das Element r_{1}x_{1} + ⋯ + r_{n}x_{n} abbildet, ist stetig, und N als Bild einer kompakten Menge kompakt und damit abgeschlossen. Der Quotient M/N ist kompakter R-Modul. Nach Voraussetzung ist M = N + 𝔪M, also 𝔪(M/N) = (𝔪M + N)/N = (M/N) und damit auch 𝔪^{n}(M/N) = (M/N) für alle n. Aus der Beobachtung oben, angewandt auf den kompakten Modul M/N, folgt M/N = 0, also ist M = N ein endlich erzeugter R-Modul.

Korollar 2.24. Falls M ein kompakter topologischer ℤ_{p}[[T]]-Modul ist, für den der Quotient M/T M als ℤ_{p}-Modul von endlich vielen Elementen erzeugt wird, ist M ein endlich erzeugter ℤ_{p}[[T]]-Modul.

Beweis. M/(p, T)M ist Quotient von M/T M nach (p) und damit als endlich erzeugter 𝔽_{p}- Vektorraum endlich. Die Aussage folgt jetzt aus dem Satz.

Satz 2.25. Die Galoisgruppe X der maximalen abelschen unverzweigten p-Erweiterung von K_{∞} ist ein endlich erzeugter Λ-Modul.

Beweis. Sei 𝔪 = (p, T) = (p, γ − 1) das maximale Ideal der Iwasawa-Algebra Λ. Da der Quotient X_{e} = X/Y_{e} als p-Klassengruppe von K_{e} endlich ist und das Element 1+γ^{p^{e}} +γ^{2p^{e}} + ⋯+γ^{p^{e+1}−p^{e}} in 𝔪 liegt, genügt es nach Nakayama, zu zeigen, dass Y_{e}/(1+γ^{p^{e}}+⋯+γ^{p^{e+1}−p^{e}})Y_{e} eine endliche Gruppe ist. Das folgt aus

Y_{e}/(1 + γ^{p^{e}} + ⋯ + γ^{p^{e+1}−p^{e}})Y_{e} = Y_{e}/Y_{e+1} ⊂ X/Y_{e+1} = X_{e+1},

da die Gruppe X_{e+1} als p-Klassengruppe von K_{e+1} endlich ist.

2.6 Endlich erzeugte Λ-Moduln

Für endlich erzeugte Moduln über der Iwasawa-Algebra bekommt man bis auf so genannte Pseudo-Isomorphismen, also Abbildungen mit endlichem Kern und Cokern, eine ähnliche Strukturaussage wie für Moduln über Hauptidealringen. Genauer ist das Ziel dieses Abschnitts das folgende Resultat:

Satz 2.26 (Struktur von endlich erzeugten Λ-Moduln). Sei M ein endlich erzeugter Λ-Modul. Dann gibt es eindeutig bestimmte irreduzible Weierstraß-Polynome f_{j}(T) und eindeutig bestimmte Zahlen r, m_{i}, n_{j} ∈ ℕ_{0}, sodass ein Homomorphismus

M → Λ^{r} ⊕ ⨁_{i=1}^{s} Λ/(p^{m_{i}}) ⊕ ⨁_{j=1}^{t} Λ/(f_{j}(T))^{n_{j}}

existiert, dessen Kern und Cokern endlich sind.

Mit Hilfe dieses Satzes definiert man die Iwasawa-Invarianten μ und λ eines solchen Moduls durch

μ = ∑_{i=1}^{s} m_{i},

λ = ∑_{j=1}^{t} n_{j} · deg(f_{j}(T)).

Diese Invarianten tauchten als Erstes in dem berühmten Satz von Iwasawa über das Wachstum des p-Anteils der Klassenzahlen in einer ℤ_{p}-Erweiterung auf. J. P. Serre ([41]) interpretierte die Invarianten mit Hilfe der oben angegebenen Struktur von ℤ_{p}[[T]]-Moduln, die sich aus einer allgemeineren Aussage aus Bourbaki ([4], VII §4.4 Th. 4 und 5) ableiten lässt.

Den Struktursatz kann man mit ähnlich elementaren Mitteln wie im Fall von Hauptidealringen beweisen, wie zum Beispiel im Buch von Washington ([46]). Die nächsten Kapitel orientieren sich stattdessen an [33], Chapter V, §1 und [4].

Das erste Ziel ist es, die Untersuchung der Λ-Moduln auf die Untersuchung von Torsionsmoduln und torsionsfreien Moduln zu reduzieren, sodass diese zwei Fälle getrennt betrachtet werden können.

Lemma 2.27. Die einzigen Primideale in Λ sind die folgenden Ideale:

• (0)

• (p)

• (f(T)) mit irreduziblen Weierstraß-Polynomen f(T)

• das maximale Ideal 𝔪 = (p, T).

Beweis. Die oben genannten Ideale sind offenbar Primideale in Λ: Für ein irreduzibles Weierstraß-Polynom f(T) gilt Λ/(f(T)) ≅ ℤ_{p}[T]/(f(T)), und dieser Ring ist nullteilerfrei.

Sei 𝔭 ein Primideal der Höhe 1, 𝔭 ≠ pΛ. Dann wird 𝔭 von einem irreduziblen Element g(T) ∈ Λ\pΛ erzeugt. Nach dem Weierstraß’schen Vorbereitungssatz kann man als Erzeuger des Ideals ein Weierstraß-Polynom wählen. Damit das Ideal ein Primideal ist, muss das Polynom irreduzibel sein.

Das einzige Primideal der Höhe 2 ist das Ideal (p, T), da die Elemente aus Λ\(p, T) Einheiten sind und das Ideal damit das einzige maximale Ideal ist. Das Ideal hat tatsächlich Höhe 2, da jedes Ideal, das man durch Hinzufügen eines weiteren Elements aus Λ\(p) zu einem Primideal der Form (f(T)) bekommt, eine Potenz des maximalen Ideals enthält.

Lemma 2.28. Seien 𝔭_{1}, …, 𝔭_{k} Primideale der Höhe 1 in Λ und S = ⋂_{i} Λ\𝔭_{i}. Dann ist der Ring S^{−1}Λ ein Hauptidealring.

Beweis. Die Primideale in S^{−1}Λ sind die Ideale 𝔭_{1}S^{−1}Λ, …, 𝔭_{k}S^{−1}Λ und (0). Die Lokalisierung nach einem maximalen Ideal 𝔭_{i}S^{−1}Λ ist zu Λ_{𝔭_{i}} isomorph. Dieser Ring ist ganz abgeschlossen und eindimensional, also als Lokalisierung des noetherschen Rings Λ ein diskreter Bewertungsring. Damit ist S^{−1}Λ ein Dedekindring, und nach [4], VII §2.2 Th. 1 sind semilokale Dedekindringe Hauptidealringe.

Satz 2.29. Sei N ein endlich erzeugter Λ-Modul, sodass N_{𝔮} = 0 für alle Primideale 𝔮 der Höhe 1. Dann ist N endlich.

Beweis. Sei {y_{1}, …, y_{m}} ein Erzeugendensystem von N. Wegen (Λy_{i})_{𝔮} = 0 für alle 𝔮 ist Ann(y_{i}) für kein i in einem Primideal der Höhe 1 enthalten. Der Ring Λ/ Ann(y_{i}) ist ein noetherscher Ring mit dem Bild des maximalen Ideals (p, T) als einzigem Primideal. Da in noetherschen Ringen das Nilradikal nilpotent ist, muss eine Potenz (p, T)^{n} des maximalen Ideals in allen Idealen Ann(y_{i}) enthalten sein. Für jedes i ist der Modul Λ/(Ann(y_{i})) als Quotient von Λ/(p, T)^{n} endlich, und der Modulhomomorphismus

Λ/(Ann(y_{1})) × ⋯ × Λ/(Ann(y_{m})) → N,

der sich aus den Abbildungen Λ/(Ann(y_{i})) → N, 1 ↦ y_{i} zusammensetzt, ist surjektiv. Damit ist auch der Λ-Modul N endlich.

Definition. Der Torsions-Untermodul eines Moduls M über einem kommutativen Ring R ist der Modul Tors(M) = {x ∈ M | ∃r ∈ R\{0} : r · x = 0}. Falls M = Tors(M), heißt M Torsionsmodul.

Falls R nullteilerfrei ist, sind die Torsionsmoduln genau die Moduln vom Rang 0.

Definition. Eine Abbildung zwischen zwei Λ-Moduln, deren Kern und Cokern endliche Gruppen sind, nennen wir Pseudo-Isomorphismus.

Man sieht sofort, dass die Relation „Pseudo-Isomorphismus“ reflexiv und transitiv ist. Für Torsionsmoduln wird in Abschnitt 2.6.1 gezeigt, dass sie außerdem symmetrisch ist. Wir nennen zwei Torsionsmoduln also pseudo-isomorph, wenn es einen Pseudo-Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Um nachzuweisen, dass eine Abbildung ein Pseudo-Isomorphismus ist, genügt es, für jedes Primideal 𝔮 der Höhe 1 nachzuweisen, dass die Abbildung auf den Lokalisierungen nach 𝔮 einen Isomorphismus induziert. Das folgt aus Satz 2.29, da die Lokalisierungen Λ_{𝔮} flache Moduln sind.

Lemma 2.30. Sei X ein endlich erzeugter Λ-Modul und M der Torsions-Untermodul. Dann gibt es einen Homomorphismus g : X → M, sodass g auf dem Untermodul M durch Multiplikation mit einen Element aus Λ gegeben ist und sodass diese Einschränkung ein Pseudo-Isomorphismus ist.

Beweis. Sei 𝔞 = Ann(M). Da Λ noetherscher Integritätsbereich ist und X endlich erzeugt, ist 𝔞 ≠ 0. Aus der Form der Primideale von Λ kann man ablesen, dass 𝔞 ⊄ 𝔮 für fast alle Primideale 𝔮 der Höhe 1, da ein beliebiges Polynom aus 𝔞 nur in endlich vielen der Primideale liegen kann. Seien also 𝔭_{1}, …, 𝔭_{k} genau die Primideale der Höhe 1, die 𝔞 enthalten, und S = ⋂_{i}(Λ\𝔭_{i}). Nach Lemma 2.28 ist der Ring S^{−1}Λ ein Hauptidealring, über dem also torsionsfreie Moduln frei sind. Da die exakte Sequenz

0 → S^{−1}M → S^{−1}X → S^{−1}X/S^{−1}M → 0

spaltet, können wir einen Homomorphismus f ∈ Hom_{S^{−1}Λ}(S^{−1}X, S^{−1}M) wählen, der S^{−1}X auf den Modul S^{−1}M projiziert. Wegen der Bijektivität der kanonischen Abbildung

S^{−1} Hom_{Λ}(X, M) → Hom_{S^{−1}Λ}(S^{−1}X, S^{−1}M)

ist dieser Homomorphismus f von der Form f = s^{−1}g̃ mit einem Element s ∈ S und einem Homomorphismus g̃ ∈ Hom_{Λ}(X, M). Für alle Elemente t ∈ S^{−1}M gilt dann f(t) = s^{−1}g̃(t) = t in S^{−1}M, also gibt es für jedes t aus dem Torsionsmodul M ein Element s_{t} mit s_{t}g̃(t) = s_{t}s · t in M. Da der Λ-Modul M endlich erzeugt ist, können wir ein Element s′ ∈ S so wählen, dass die Abbildung s′g̃ auf ganz M durch Multiplikation mit dem Element s′s gegeben ist.

Um zu zeigen, dass g ein Pseudo-Isomorphismus ist, müssen wir nachweisen, dass die induzierten Abbildungen auf den Lokalisierungen für alle Primideale der Höhe 1 bijektiv sind. Die Primideale 𝔮 der Höhe 1, für die M_{𝔮} nicht der Nullmodul ist, sind aber genau die Ideale 𝔭_{1}, …, 𝔭_{k} von Λ, die Ann(M) enthalten. Für diese Ideale ist die induzierte Abbildung g_{i} : M_{𝔭_{i}} → M_{𝔭_{i}} gegeben durch Multiplikation mit s · s′, also mit einer Einheit, und damit ein Isomorphismus.

Satz 2.31. Sei X ein endlich erzeugter Λ-Modul und M der Torsions-Untermodul. Dann gibt es einen Pseudo-Isomorphismus f : X → M ⊕ X/M.

Beweis. Sei f die Abbildung, die sich aus der Abbildung g aus Lemma 2.30 und der Projektionsabbildung p : X → X/M zusammensetzt und h : M → M die Einschränkung von g auf M. Wir haben das kommutative Diagramm

[figure: 0; M; h; X; f; X/M; 0; 0; M; M ⊕ X/M; X/M; 0]

in dem beide Zeilen exakt sind. Anwenden des Schlangenlemmas ergibt Isomorphismen ker(h) → ker(f) und coker(h) → coker(f), und da die Abbildung h nach Lemma 2.30 ein Pseudo-Isomorphismus ist, gilt das auch für f.

2.6.1 Torsionsmoduln

Satz 2.32. Jeder endlich erzeugte Λ-Torsionsmodul M ist pseudo-isomorph zu einer endlichen direkten Summe

⨁ Λ/(f_{i}(T)^{m_{i}}) ⊕ ⨁ Λ/(p^{n_{j}})

mit eindeutig bestimmten irreduziblen Weierstraß-Polynomen f_{i} und Zahlen m_{i}, n_{j}.

Beweis. Seien 𝔞 = Ann(M) und 𝔭_{i} und S wie im Beweis von Lemma 2.30, sodass der Ring S^{−1}A ein Hauptidealring ist. Wir können nach dem Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen einen Modul E der Form

E = ⨁_{i} Λ/𝔭_{i}^{n_{i}}

mit Primidealen 𝔭_{i} der Höhe 1 und Exponenten n_{i} ∈ ℕ so wählen, dass es einen Isomorphismus g_{0} : S^{−1}M → S^{−1}E gibt. Da

Hom_{S^{−1}Λ}(S^{−1}M, S^{−1}E) = S^{−1} Hom_{Λ}(M, E),

können wir wieder einen Morphismus g : M → E und ein Element s ∈ S finden mit g(x) = sg_{0}(x) für alle x ∈ M. Um zu zeigen, dass g ein Pseudo-Isomorphismus ist, müssen wir nachweisen, dass die induzierten Abbildungen auf den Lokalisierungen für alle Primideale der Höhe 1 bijektiv sind. Die Primideale 𝔮 der Höhe 1, für die M_{𝔮} nicht der Nullmodul ist, sind aber wieder genau die Ideale 𝔭_{i}, und für diese Ideale ist die induzierte Abbildung g_{i} : T_{𝔭_{i}} → T_{𝔭_{i}} durch Multiplikation mit der Einheit s gegeben.

Die Primideale der Höhe 1 in ℤ_{p}[[T]] sind nach Lemma 2.27 von der Form (p) oder (f(T)) mit irreduziblen Weierstraß-Polynomen f.

Zur Eindeutigkeit: Lokalisieren nach einem beliebigen Primideal 𝔭 der Höhe 1 macht aus einem Pseudo-Isomorphismus von M in eine direkte Summe der oben angegebenen Form einen Isomorphismus zwischen den Moduln über Λ_{𝔭}. Die Lokalisierung eines Summanden Λ/𝔭^{k} nach 𝔭 liefert den Modul Λ_{𝔭}/𝔭^{k}Λ_{𝔭}, und die Lokalisierung nach allen anderen Primidealen verschwindet. Die Zahlen m_{i} und n_{j} sind also wie die Primideale (f_{i}(T)) eindeutig bestimmt.

Genau wie im Beweis dieses Satzes zeigt man, dass die Relation „Pseudo-Isomorphismus“ auf Torsionsmoduln symmetrisch ist:

Satz 2.33. Sei f : M → N ein Pseudo-Isomorphismus zwischen den Λ-Torsionsmoduln M und N. Dann existiert auch ein Pseudo-Isomorphismus g : N → M.

Beweis. Sei P = {𝔭_{1}, …, 𝔭_{k}} eine endlich Menge von Primidealen der Höhe 1, sodass M_{𝔮} = N_{𝔮} = 0 für alle anderen Primideale 𝔮 der Höhe 1, und S = ⋂_{i}(Λ\𝔭_{i}). Dann ist der induzierte Homomorphismus S^{−1}f : S^{−1}M → S^{−1}N ein Isomorphismus, da die Lokalisierungen nach allen Primidealen von S^{−1}A nach Voraussetzung Isomorphismen sind. Wie oben finden wir eine Abbildung g : N → M und ein Element s ∈ S mit S^{−1}g = sf^{−1}. Diese Abbildung g ist dann ein Pseudo-Isomorphismus, da sie auf allen Lokalisierungen nach Primidealen 𝔭_{i} aus P durch Multiplikation mit einer Einheit gegeben ist und M_{𝔮} = N_{𝔮} = 0 für die anderen Primideale der Höhe 1.

2.6.2 Torsionsfreie Moduln

Wie im Fall von Hauptidealringen gilt für endlich erzeugte Moduln über der Iwasawa-Algebra, dass die torsionsfreien Moduln genau die freien Moduln sind. Eine allgemeinere Version dieser Aussage ist Proposition 5.1.9 in [33].

Satz 2.34. Endlich erzeugte torsionsfreie Λ-Moduln sind frei.

Beweis. Sei M ein endlich erzeugter torsionsfreier Λ-Modul und r die minimale Anzahl von Erzeugern. Dann ist Multiplikation mit T ∈ Λ injektiv, wir haben also ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

\xymatrix{0 \ar[r] & Λ^{r} \ar[d] \ar[r]^{·T} & Λ^{r} \ar[d]^{φ} \ar[r] & (Λ/(T))^{r} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[r]^{·T} & M \ar[r] & M/T M \ar[r] & 0}

Der torsionsfreie Λ/(T)-Modul M/T M ist frei, da Λ/(T) = ℤ_{p} Hauptidealring ist. Falls M/T M ≅ ℤ_{p}^{s} mit s < r, hat M nach Nakayama ein Erzeugendensystem mit weniger als r Elementen. Also ist s = r und die Abbildung (Λ/(T))^{r} → ℤ_{p}^{r} = M/T M ist ein Isomorphismus.

Aus dem kommutativen Diagramm kann man ablesen, dass das Urbild des Kerns K von φ : Λ^{r} → M unter der Abbildung ·T : Λ^{r} → Λ^{r} genau K ist. Nach Nakayama folgt aus dem Isomorphismus K ≅ T K, dass K = 0, und damit ist die Abbildung φ bijektiv.

2.7 Maximale abelsche unverzweigte p-Erweiterungen

In Abschnitt 2.5 wurde gezeigt, dass die Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten p-Erweiterung von K_{∞} ein endlich erzeugter topologischer Λ-Modul wird. Mit den Strukturaussagen der letzten Abschnitte folgt jetzt, dass der torsionsfreie Anteil verschwindet. Dieses Resultat wird später helfen, dieselbe Eigenschaft für einen größeren Λ-Modul herzuleiten.

Satz 2.35. Sei K_{0} ein Zahlkörper, K_{∞}/K_{0} eine ℤ_{p}-Erweiterung und L die maximale abelsche unverzweigte p-Erweiterung von K_{∞}. Dann ist X = Gal(L/K_{∞}) ein endlich erzeugter Λ-Torsionsmodul.

Beweis. Wir wissen aus Lemma 2.22, dass es eine Zahl e ≥ 0 und ℤ_{p}-Untermoduln Y_{e}, Y_{e+1}, … von X mit Y_{n} = (1+γ^{p^{e}} +⋯+γ^{p^{n}−p^{e}})Y_{e} für alle n ≥ e gibt, sodass X/Y_{n} als p-Klassengruppe eines Zwischenkörpers K_{n} jeweils eine endliche Gruppe ist. Nach Satz 2.31 gibt es einen Pseudo-Isomorphismus

X → Λ^{r} ⊕ M

mit r ∈ ℕ_{0} und einem Λ-Torsionsmodul M. Die Inklusionen Y_{e+1} ⊂ Y_{e} ⊂ X liefern Abbildungen in Λ^{r} ⊕ M, die ebenfalls endlichen Kern und Cokern haben. Diese Abbildungen induzieren

Y_{e}/Y_{e+1} → (Λ^{r} ⊕ M)/((1 + γ^{p^{e}} + ⋯ + γ^{p^{e+1}−p^{e}})(Λ^{r} ⊕ M)),

und diese Abbildung hat wieder endlichen Cokern. Der Modul (Λ^{r} ⊕ M)/((1 + γ^{p^{e}} + ⋯ + γ^{p^{n}−p^{e}})(Λ^{r} ⊕M)) enthält als Untermodul den Modul Λ/((1+γ^{p^{e}} +⋯+γ^{p^{n}−p^{e}})Λ), falls r > 0, und dieser Modul hat unendlich viele Elemente. Wir haben nun eine exakte Sequenz

Y_{e}/Y_{e+1} → (Λ^{r} ⊕ M)/((1 + γ^{p^{e}} + ⋯ + γ^{p^{e+1}−p^{e}})(Λ^{r} ⊕ M)) → C → 0,

in der die Moduln Y_{e}/Y_{e+1} und C endlich sind, also auch der Quotient in der Mitte. Daraus folgt r = 0, also ist X pseudo-isomorph zu einem Torsionsmodul und damit selbst Torsionsmodul.

Bemerkung. Wenn man genauer untersucht, wie sich die p-Klassengruppen X_{n} als Quotienten von X ergeben, erhält man das folgende Resultat von Iwasawa ([16], [41]):

Sei K_{∞}/K_{0} eine ℤ_{p}-Erweiterung eines Zahlkörpers K_{0} mit Zwischenkörpern K_{n} und p^{e_{n}} die Ordnung der p-Klassengruppe von K_{n}. Dann gibt es λ, μ ∈ ℕ_{0}, ν ∈ ℤ und einen Index N, sodass

e_{n} = λn + μp^{n} + ν

für alle n ≥ N. Die Zahlen λ und μ stimmen mit den gleichnamigen Invarianten des Moduls X überein.

2.8 Noch mehr Klassenkörpertheorie

Als Hauptziel dieses Kapitels soll die Galoisgruppe der maximalen außerhalb von p unverzweigten p-Erweiterung eines Zahlkörpers untersucht werden. Dazu benötigen wir noch einige Ergebnisse aus der globalen Klassenkörpertheorie ([46], §13.1 und Anhang 3).

Sei K ein Zahlkörper und 𝔭 ein Primideal in O_{K}. In der Vervollständigung K_{𝔭} von K bezeichnen wir mit U_{𝔭} die Einheiten und mit U_{𝔭}^{(1)} die Untergruppe derjenigen Einheiten, die kongruent zu 1 mod 𝔭 sind. Wie üblich bezeichnet 𝔭 sowohl das Primideal im Ganzheitsring von K als auch das entsprechende Ideal in der Vervollständigung bezüglich 𝔭. Für unendliche Stellen setzen wir U_{𝔭} = K_{𝔭}^{∗}.

Wir bezeichnen mit J die Idelgruppe von K, d.h. die Teilmenge von ∏ K_{𝔭}^{∗} der Elemente (x_{𝔭}) mit x_{𝔭} ∈ U_{𝔭} für fast alle 𝔭. Sei U = ∏_{𝔮} U_{𝔮}, wobei 𝔮 hier über die endlichen und unendlichen Stellen von K laufen soll. Die Topologie von J ist durch die Produkttopologie auf U und die Festsetzung, dass U eine offene Teilmenge von J sein soll, gegeben. Mit der Multiplikation als Verknüpfung wird J dadurch eine lokalkompakte topologische Gruppe.

Die Gruppen

U_{p} = ∏_{𝔭|p}U_{𝔭} und U_{[p]} = ∏_{𝔮∤p}U_{𝔮}

fassen wir als Untergruppen von U auf.

Als wichtigstes Werkzeug werden wir im nächsten Abschnitt die folgende Aussage verwenden:

Satz 2.36. Die abelschen algebraischen Erweiterungen von K entsprechen genau den abgeschlossenen Untergruppen H von J mit K^{∗} ⊂ H, sodass der Quotient J/H eine total unzusammenhängende topologische Gruppe ist. Die Galoisgruppe einer solchen Erweiterung L ⊃ K ist isomorph zu J/H, und ein Primideal 𝔮 von K ist genau dann unverzweigt in L, wenn U_{𝔮} ⊂ H.

Wie die Bestandteile U_{𝔭} der Idelgruppe aussehen, ist aus der Zahlentheorie bekannt ([32], Satz 5.7 in Kapitel II):

Satz 2.37 (Einheitengruppe der lokalen Körper). Sei K ein Zahlkörper und 𝔭 ein Primideal von K über p. Die Vervollständigung K_{𝔭} habe den Grad d über ℚ_{p} und den Restklassenkörper 𝔽_{q}. Dann gilt für die Einheitengruppe U_{𝔭} von K_{𝔭}:

U_{𝔭} = μ_{q−1} × U_{𝔭}^{(1)} = μ_{q−1} × μ_{p^{a}} × V

mit einer Zahl a ∈ ℕ_{0} und einer abelschen Pro-p-Gruppe V, die als ℤ_{p}-Modul frei vom Rang d ist.

Die Gleichheit gilt auch, wenn man alle Gruppen als topologische Gruppen auffasst und V dabei mit der Topologie von ℤ_{p}^{d} versieht.

Lemma 2.38. Sei E die Einheitengruppe in K und σ_{p} : E → U_{p} die kanonische Inklusion x ↦ (x) ∈ ∏_{𝔭|p} U_{𝔭}. Dann gilt

U_{p} ∩ \overline{U_{[p]}K^{∗}} = \overline{σ_{p}(E)}.

Beweis. Sei U_{p}^{(n)} die Gruppe der Einheiten u in U_{p} mit u ≡ 1 mod p^{n}. Die Gruppen U_{p}^{(n)} bilden dann eine Umgebungsbasis der 1 in U_{p}; die Gruppen U_{p}^{(n)}U_{[p]}K^{∗} ∩ U_{p} bilden damit eine Umgebungsbasis von U_{[p]}K^{∗}∩U_{p} und ihr Durchschnitt ist der Abschluss von U_{[p]}K^{∗}∩U_{p}. Es gilt U_{p}^{(n)}U_{[p]}K^{∗}∩U_{p} ⊂ EU_{p}^{(n)}, da die Komponenten bei U_{l} mit l ∤ p alle 1 sind und die Komponenten bei U_{𝔭} mit 𝔭|p Einheiten aus K sein müssen. Umgekehrt gilt EU_{p}^{(n)} ⊂ U_{p}^{(n)}U_{[p]}K^{∗} für alle n.

Der Schnitt aller EU_{p}^{(n)} enthält sicherlich \overline{σ_{p}(E)}, da E ⊂ EU_{p}^{(n)} für jedes n. Für die umgekehrte Inklusion sei x ein beliebiges Element aus ⋂_{n} EU_{p}^{(n)}. Für jedes n lässt sich x dann schreiben als x = e_{n} · (1 + p_{1}^{(n)}, …, 1 + p_{r}^{(n)}) mit e_{n} ∈ E und p_{i}^{(n)} ∈ 𝔭_{i}^{n}. Also liegt das Element (x − e_{n})_{i} jeweils in 𝔭_{i}^{n}, und damit ist x_{i} = lim_{n→∞}(x − e_{n})_{i} in der 𝔭_{i}-adischen Topologie, also x ∈ \overline{σ_{p}(E)} in U_{p}.

Die Leopoldt’sche Vermutung

Nach dem Dirichlet’schen Einheitensatz hat die Gruppe E der Einheiten in einem Zahlkörper K als ℤ-Modul den Rang r_{1} + r_{2} − 1, wobei r_{1} und r_{2} wie üblich die Anzahlen der reellen bzw. Paare von komplexen Einbettungen von K bezeichnen. Da die Untergruppe E_{1} derjenigen Einheiten, die in jeder Vervollständigung K_{𝔭} mit 𝔭|p kongruent zu 1 mod 𝔭 sind, endlichen Index hat, hat sie als ℤ-Modul denselben Rang r_{1} + r_{2} − 1.

Eine von mehreren äquivalenten Formulierungen der Vermutung, die Leopoldt aufgestellt hat, ist die folgende Aussage:

Vermutung. Der Rang des Abschlusses von σ_{p}(E_{1}) in U_{p} als ℤ_{p}-Modul ist ebenfalls r_{1}+r_{2}−1.

Bisher wurde die Vermutung nur in Spezialfällen bewiesen; zum Beispiel weiß man, dass sie für abelsche Zahlkörper richtig ist ([33], Th. 10.3.16). Wir werden im nächsten Abschnitt eine schwächere Version der Leopoldt’schen Vermutung für ℤ_{p}-Erweiterungen brauchen.

2.9 Maximale abelsche p-verzweigte p-Erweiterungen

In diesem Abschnitt wird mit Hilfe von Klassenkörpertheorie gezeigt, dass der Iwasawa-Modul, den man der maximalen p-verzweigten p-Erweiterung eines total reellen Zahlkörpers zuordnet, ein Torsionsmodul ist. Der Beweis ist im Wesentlichen aus Kapitel 13 von [46] entnommen.

Wir verwenden dieselben Bezeichnungen wie im letzten Abschnitt; zusätzlich bezeichnen wir die maximale abelsche außerhalb von p unverzweigte p-Erweiterung eines Zahlkörpers K mit M_{p}(K) und die zugehörige Galoisgruppe Gal(M_{p}(K)/K) mit G_{p}^{ab}(K). Eine Körpererweiterung nennen wir „außerhalb von p unverzweigt“ oder kurz „p-verzweigt“, wenn sie bei allen Stellen über der Primzahl p unverzweigt ist.

Satz 2.39. Es gibt einen Homomorphismus mit endlichem Kern und Cokern von G_{p}^{ab}(K) in den Quotienten U_{p}/\overline{σ_{p}(E)}.

Beweis. Der maximalen außerhalb von p unverzweigten Erweiterung von K entspricht nach Klassenkörpertheorie eine abgeschlosse Untergruppe H von J, sodass J/H total unzusammenhängende Gruppe ist. Genauer ist H die kleinste solche Gruppe, die K^{∗}U_{[p]} enthält.

Wir betrachten zunächst den Quotienten J/\overline{U_{[p]}K^{∗}}. Es gilt \overline{U_{[p]}K^{∗}} ⊂ U_{p}U_{[p]}K^{∗} ⊂ J, da U_{p}U_{[p]}K^{∗} als offene Untergruppe von J auch abgeschlossen ist, und der Quotient J/U_{p}U_{[p]}K^{∗} ist isomorph zur Klassengruppe von K und damit endlich. Wir betrachten also nur den anderen Quotienten U_{p}U_{[p]}K^{∗}/\overline{U_{[p]}K^{∗}} ≅ U_{p}/(\overline{U_{[p]}K^{∗}} ∩ U_{p}). Nach Lemma 2.38 ist dieser Quotient isomorph zu U_{p}/\overline{σ_{p}(E)}.

Der Abschluss \overline{K^{∗}U_{[p]}} ist also die gesuchte Untergruppe, denn der Quotient J/K^{∗}U ist diskret und UK^{∗}/\overline{U_{[p]}K^{∗}} ist total unzusammenhängend. Die Gruppe G_{p}^{ab}(K) ist nun nach Klassenkörpertheorie isomorph zum maximalen p-Quotienten von J/\overline{U_{[p]}K^{∗}}.

Für 𝔭|p ist die Einheitengruppe U_{𝔭} von K_{𝔭} das Produkt von U_{𝔭}^{(1)} und einer endlichen Untergruppe. Die gesamte Gruppe U_{p} ist also Produkt von U_{p}^{(1)} = ∏_{𝔭|p} U_{𝔭}^{(1)} und einer endlichen Gruppe.

Damit ist U_{p}^{(1)}/(U_{p}^{(1)} ∩ \overline{σ_{p}(E)}) ein Pro-p-Quotient von U_{p}/\overline{σ_{p}(E)} mit endlichem Index, und man erhält aus diesen Abbildungen einen Homomorphismus G_{p}^{ab}(K) → U_{p}/\overline{σ_{p}(E)} mit endlichem Kern und Cokern.

Eine einfache Verallgemeinerung dieses Satzes erhält man, wenn man statt G_{p}^{ab}(K) eine endliche Menge S von Stellen des Körpers K wählt, die alle Stellen über p enthält, und die maximale abelsche außerhalb von S unverzweigte p-Erweiterung M_{S}(K) betrachtet. Analog zu den Bezeichnungen für den Spezialfall verwenden wir die Notationen

G_{S}^{ab}(K) = Gal(M_{S}(K)/K)
U_{S} = ∏_{𝔮∈S} U_{𝔮} ⊂ J

und σ_{S} : K → U_{S} für die diagonale Einbettung von K in U_{S}.

Korollar 2.40. Sei S eine endliche Menge von Primzahlen mit p ∈ S. Dann ist die Galoisgruppe G_{S}^{ab}(K) der maximalen abelschen außerhalb von S unverzweigten p-Erweiterung von K ebenfalls bis auf endlichen Kern und Cokern isomorph zu U_{p}/\overline{σ_{p}(E)}.

Beweis. Genau wie oben beweist man, dass G_{S}^{ab}(K) bis auf endlichen Kern und Cokern zum maximalen p-Quotienten der Gruppe U_{S}/\overline{σ_{S}(E)} isomorph ist. Es gilt U_{S} = U_{p} × U_{S′}, wobei S′ die Stellen aus S enthält, die nicht über p liegen. Da die Faktoren von U_{S′} jeweils nur endlichen p-Anteil haben, ist G_{S}^{ab}(K) bis auf endlichen Kern und Cokern isomorph zum maximalen p-Quotienten der Gruppe U_{p}/\overline{σ_{S}(E)} ∩ U_{p}. Falls π : U_{S} → U_{p} die Projektion bezeichnet, gilt aber π(σ_{S}(E)) = σ_{p}(E), und wegen der Kompaktheit folgt

\overline{σ_{S}(E)} ∩ U_{p} = π(\overline{σ_{S}(E)}) = \overline{σ_{p}(E)}.

Wir erhalten also wieder dieselbe Gruppe wie oben.

Für den Rest des Abschnitts vereinbaren wir als Abkürzung die Schreibweise \overline{E} für den Abschluss von σ_{p}(E) in U_{p}; analog schreiben wir \overline{E}_{1} für \overline{σ_{p}(E_{1})}.

Sei δ(K) diejenige natürliche Zahl, für die der ℤ_{p}-Modul \overline{E}_{1} den Rang r_{1} + r_{2} − 1 − δ(K) hat, also die Abweichung von der Aussage der Leopoldt-Vermutung.

Satz 2.41. Die Gruppe G_{p}^{ab}(K) hat als ℤ_{p}-Modul den Rang r_{2} + 1 + δ(K).

Beweis. Aus dem Beweis des letzten Satzes erhält man einen Pseudo-Isomorphismus

G_{p}^{ab}(K) → U_{p}^{(1)}/\overline{E}_{1},

und der ℤ_{p}-Rang von U_{p}^{(1)} = ∏_{𝔭|p} U_{𝔭}^{(1)} ist die Summe der Zahlen rg_{ℤ_{p}} U_{𝔭}^{(1)} = [K_{𝔭} : ℚ_{p}] für

𝔭|p. Diese Summe ist genau der Grad von K über ℚ. Der ℤ_{p}-Rang von U_{p}^{(1)}/\overline{E} ist also durch die Differenz (r_{1} + 2r_{2}) − (r_{1} + r_{2} − 1 − δ(K)) = r_{2} + 1 + δ(K) gegeben und stimmt mit dem Rang von G_{p}^{ab}(K) überein.

Bemerkung. Als Korollar erhält man wie oben wieder dieselbe Aussage für die Galoisgruppe G_{S}^{ab}(K).

Wenn die Leopoldt’sche Vermutung für alle Zwischenkörper einer total reellen ℤ_{p}-Erweite-rung von Zahlkörpern richtig ist, also zum Beispiel im Fall der zyklotomischen ℤ_{p}-Erweiterung ℚ_{∞}/ℚ, sieht man sofort, dass die Galoisgruppen Gal(M_{p}(K_{n})/K_{n}) der maximalen abelschen p-verzweigten p-Erweiterungen den ℤ_{p}-Rang 1 haben. Die Gruppen Gal(M_{p}(K_{n})/K_{∞}) haben also den Rang 0, und mit derselben Begründung wie in Abschnitt 2.7 für den Modul X kann man dann beweisen, dass der Modul Gal(⋃ M_{p}(K_{n})/K_{∞}) ein endlich erzeugter Λ-Torsionsmodul ist.

Ohne dieses Resultat zu verwenden, zeigen wir für beliebige zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterun-gen die folgende Aussage ([46], §13.5), die für allgemeine ℤ_{p}-Erweiterungen auch als schwache Leopoldt-Vermutung bezeichnet wird:

Satz 2.42. Sei K_{∞} ⊃ K_{0} die zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung mit Zwischenkörpern K_{n}. Dann ist die Menge der Zahlen δ_{n} = δ(K_{n}) beschränkt.

Für den Beweis benötigen wir zwei Hilfsaussagen:

Lemma 2.43. Sei K ein Zahlkörper, der die p^{n}-ten Einheitswurzeln enthält und δ = δ(K). Dann hat die Klassengruppe von K einen zu (ℤ/p^{n}ℤ)^{δ} isomorphen Quotienten.

Beweis. Angenommen, δ = δ(K) > 0. Sei {ϵ_{1}, …, ϵ_{r}} eine ℤ-Basis für E_{1}(K), sodass die Elemente \{ϵ_{δ+1}, …, ϵ_{r}\} eine ℤ_{p}-Basis von \overline{E}_{1} bilden. Dann gibt es für i ≤ δ eine Darstellung ϵ_{i} = ∏_{j>δ} ϵ_{j}^{a_{ij}}. Sei a′_{ij} die n-te Partialsumme der p-adischen Darstellung a_{ij} = ∑ b_{ℓ}p^{ℓ} und

α_{i} = ∏_{j>δ} ϵ_{j}^{a_{ij}−a′_{ij}} = ϵ_{i} · ∏_{j>δ} ϵ_{j}^{−a′_{ij}}.

Dann ist α_{i} in \overline{E}_{1} eine p^{n}-te Potenz, und da die Menge \{ϵ_{1}, …, ϵ_{r}\} eine ℤ-Basis für E_{1}(K) ist, erzeugen die Elemente α_{1}, …, α_{δ} eine zu (ℤ/p^{n}ℤ)^{δ} isomorphe Untergruppe von K^{∗}/(K^{∗})^{p^{n}}. Da wir ζ_{p^{n}} ∈ K angenommen haben, entspricht dieser Untergruppe die Kummer-Erweiterung K( \sqrt[p^{n}]{α_{1}}, …, \sqrt[p^{n}]{α_{δ}})/K mit Galoisgruppe (ℤ/p^{n}ℤ)^{δ}.

Die Erweiterung K( \sqrt[p^{n}]{α_{i}})/K ist außerhalb von p unverzweigt, da für ein Primideal 𝔮 ∤ p das Minimalpolynom von \sqrt[p^{n}]{α_{i}} über der Vervollständigung K_{𝔮} separabel über dem Restklassenkörper bleibt. Die Erweiterung K( \sqrt[p^{n}]{α_{i}})/K ist auch bei p unverzweigt, da K_{𝔮} die p^{n}-ten Wurzeln von α_{i} bereits enthält. Also ist K( \sqrt[p^{n}]{α_{1}}, …, \sqrt[p^{n}]{α_{δ}}) abelsche und als Zusammensetzung von unverzweigten Erweiterungen unverzweigte Erweiterung von K. Die Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten Erweiterung von K hat damit die Gruppe (ℤ/p^{n}ℤ)^{δ} als Quotienten.

Lemma 2.44. Für einen Teilkörper K eines Zahlkörpers L gilt δ(K) ≤ δ(L).

Beweis. Die Zahl δ ist die Differenz der Dimensionen dim_{ℚ}(E_{1} ⊗_{ℤ}ℚ) und dim_{ℚ_{p}}(\overline{E}_{1} ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}). Da E_{1}(K) ⊗ ℚ und \overline{E_{1}(K)} ⊗ ℚ_{p} jeweils als Untervektorräume von E_{1}(L) ⊗ ℚ und \overline{E_{1}(L)} ⊗ ℚ_{p} aufgefasst werden können, ist die Differenz δ(L) mindestens so groß wie δ(K).

Beweis von Satz 2.42. Sei K_{∞}/K_{0} eine zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung. Nach dem letzten Lemma können wir annehmen, dass K_{0} die p-ten Einheitswurzeln enthält und die Zwischenkörper K_{n} in der zyklotomischen ℤ_{p}-Erweiterung von K_{0} damit jeweils die p^{n}-ten Einheitswurzeln. Außerdem können wir annehmen, dass alle verzweigten Stellen in der Erweiterung K_{∞}/K_{0} voll verzweigt sind; sonst ersetzen wir K_{0} durch einen mit Hilfe von Lemma 2.7 passend gewählten Zwischenkörper K_{e} und erhalten wieder eine ℤ_{p}-Erweiterung K_{∞}/K_{e} mit Zwischenkörpern K_{e} = K̃_{0} ⊂ K̃_{1} ⊂ …, sodass K̃_{n} jeweils die p^{n}-ten Einheitswurzeln enthält.

Sei γ ein Erzeuger von Γ, der einen Isomorphismus ℤ_{p}[[Γ]] → ℤ_{p}[[T]] bestimmt. Die p-Klassengruppe von K_{n} ergibt sich als Quotient X/Y_{n}, wobei Y_{n} wie in Lemma 2.21 gewählt werden kann, also Y_{n} = (1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1})Y_{0}. Der Isomorphismus Λ → ℤ_{p}[[T]] bildet 1 + γ + ⋯ + γ^{p^{n}−1} auf das Polynom ν_{n}(T) = 1 + (T + 1) + ⋯ + (T + 1)^{p^{n}−1} ab.

Der Λ-Modul X ist als endlich erzeugter Torsionsmodul nach Abschnitt 2.6.1 pseudoisomorph zu einer endlichen direkten Summe E = ⨁ Λ/(p^{n_{i}}) ⊕ ⨁ Λ/(f_{i}(T)) mit Weierstraß-Polynomen f_{i}. Eine Untersuchung dieses Moduls ergibt, dass er nicht groß genug ist, um in den Quotienten X_{n} Untergruppen der Form (ℤ/p^{n}ℤ)^{δ_{n}} für eine unbeschränkte Folge (δ_{n}) Platz zu bieten.

Genauer: Es gibt eine exakte Sequenz

0 → K → ⨁ Λ/(p^{n_{i}}) ⊕ ⨁ Λ/(f_{i}(T)) → X → C → 0

mit endlichen Moduln K und C, die durch Tensorieren mit Λ/(ν_{n}(T)) für jedes n ∈ ℕ die exakten Sequenzen

⨁ Λ/(p^{n_{i}}, ν_{n}(T)) ⊕ ⨁ Λ/(f_{i}(T), ν_{n}(T)) → X/ν_{n}(T)X → C/ν_{n}(T)C → 0

liefert.

Wir nehmen nun an, die Folge (δ_{n}) = (δ(K_{n})) sei unbeschränkt. Dann hat die Gruppe X/Y_{n} = X/ν_{n}(T)Y_{0} jeweils einen Quotienten der Form (ℤ/p^{n}ℤ)^{δ_{n}}. Da X/Y_{0} endlich ist, gibt es dann auch eine unbeschränkte Folge (λ′_{n}), sodass man in X/ν_{n}(T)X jeweils (ℤ/p^{n}ℤ)^{λ′_{n}} als Quotienten finden kann und eine unbeschränkte Folge (λ_{n}), sodass der Modul E/ν_{n}(T)E jeweils einen Quotienten der Form (ℤ/p^{n}ℤ)^{λ_{n}} besitzt. Wir untersuchen nun die einzelnen Summanden von E auf solche Quotienten.

Aus einem Summanden der Form Λ/(p^{k}) erhält man offenbar für n > k keinen Quotienten der gewünschten Form. Falls f(T) ein Weierstraß-Polynom vom Grad d ist, ergibt sich aus Λ/(f(T)) ≅ ℤ_{p}^{d} höchstens ein Quotient der Form (ℤ/p^{n}ℤ)^{d}. Wir erhalten also einen Widerspruch zur Annahme, dass (δ_{n}) unbeschränkt ist.

Satz 2.45. Sei K_{∞} ⊃ K_{0} eine ℤ_{p}-Erweiterung mit Zwischenkörpern K_{n}. Dann gilt M_{p}(K_{∞}) = ⋃_{n} M_{p}(K_{n}).

Beweis. Sicherlich gilt M_{p}(K_{n}) ⊂ M_{p}(K_{∞}) für jedes n. Für die andere Richtung genügt es zu zeigen, dass jede endliche algebraische außerhalb von p unverzweigte p-Erweiterung F von K_{∞} in einem der Körper M_{p}(K_{n}) enthalten ist.

Jede solche Erweiterung F ergibt sich durch Hochheben einer endlichen Erweiterung F_{0}/K_{0}, und der Schnitt F_{0} ∩ K_{∞} ist einer der Zwischenkörper K_{n}. Es gilt Gal(F_{0}/K_{n}) ≅ Gal(F/K_{∞}), also ist F_{0}/K_{n} eine abelsche p-Erweiterung und damit auch F_{0}K_{∞}/K_{n} als Zusammensetzung von zwei abelschen p-Erweiterungen. Da die beiden Erweiterungen F_{0}/K_{n} und K_{∞}/K_{n} außerhalb von p unverzweigt sind, gilt das auch für F/K_{n}. Insgesamt ist F als abelsche außerhalb von p unverzweigte p-Erweiterung von K_{n} in M_{p}(K_{n}) enthalten.

Lemma 2.46. Sei X_{∞} = Gal(M_{p}(K_{∞})/K_{∞}) und γ ein topologischer Erzeuger von Γ = Gal(K_{∞}/K_{0}). Dann ist der Abschluss der Kommutatoruntergruppe von Gal(M_{p}(K_{∞})/K_{n}) der Untermodul (γ^{p^{n}} − 1) · X_{∞}.

Beweis. Sei zunächst n = 0. Für ein Element (γ − 1)x ∈ (γ − 1)X_{∞} und eine Hochhebung γ̃ von γ ist

(γ − 1)x = γ̃xγ̃^{−1}x^{−1}

in der Kommutatoruntergruppe enthalten.

Umgekehrt: In Gal(M_{p}(K_{∞})/K_{0}) erzeugt ein Urbild γ̃ des Erzeugers γ ∈ Γ eine Untergruppe Γ̃, die unter der Projektion π : Gal(M_{p}(K_{∞})/K_{0}) → Γ bijektiv auf Γ abgebildet wird.

Aus der exakten Sequenz

1 → X_{∞} → Gal(M_{p}(K_{∞})/K_{0}) → Γ → 1

erhalten wir für jedes Element aus Gal(M_{p}(K_{∞})/K_{0}) eine Darstellung der Form α·x mit α ∈ Γ̃ und x ∈ X_{∞}. Für zwei solche Elemente a, b ∈ Gal(M_{p}(K_{∞})/K_{0}) ergibt sich die Inklusion aba^{−1}b^{−1} ∈ (γ − 1) · X_{∞} jetzt mit derselben Rechnung wie in Lemma 2.20. Der Abschluss der Kommutatoruntergruppe ist ebenfalls eine Teilmenge von (γ − 1) · X_{∞}, da diese Menge als stetiges Bild der kompakten Menge X_{∞} kompakte und damit abgeschlossene Untergruppe ist. Die Aussage für n > 0 erhält man durch Ersetzen von Γ durch Γ^{p^{n}} = Gal(K_{∞}/K_{0}) und von γ durch γ^{p^{n}}.

Korollar 2.47. Die Gruppe Gal(M_{p}(K_{n})/K_{∞}) erhält man aus dem Λ-Modul X_{∞} als Quotient X_{∞}/(γ^{p^{n}} − 1) · X_{∞}.

Mit diesen Vorbereitungen können wir jetzt das schon angekündigte Resultat zeigen:

Satz 2.48. Falls K ein total reeller Zahlkörper ist und K_{∞}/K seine zyklotomische ℤ_{p}-Erwei-terung, ist die Galoisgruppe X_{∞} der maximalen außerhalb von p unverzweigten p-Erweiterung von K_{∞} ein endlich erzeugter Λ-Torsionsmodul.

Beweis. Aus dem Korollar folgt, dass der Quotient X_{∞}/(γ − 1) · X_{∞} als ℤ_{p}-Modul endlich erzeugt ist, da sogar die Gruppe Gal(M_{p}(K_{0})/K_{0}) ein endlich erzeugter ℤ_{p}-Modul ist. Nach dem Korollar zum topologischen Nakayama-Lemma ist X_{∞} deshalb als Λ-Modul endlich erzeugt.

Die Gruppe X_{n} = Gal(M_{p}(K_{n})/K_{n}) = X_{∞}/(γ^{p^{n}} − 1) · X_{∞} hat als ℤ_{p}-Modul den Rang 1 + δ(K_{n}), wobei die Zahlen δ(K_{n}) beschränkt sind (Satz 2.41 bzw. 2.42). Da K nach Voraussetzung total reell ist, gilt auch für alle Zwischenkörper r_{2} = 0.

Der Struktursatz für endlich erzeugte Λ-Moduln liefert eine exakte Sequenz

0 → K → X_{∞} → Λ^{r} ⊕ M → C → 0

mit endlichen Gruppen K und C und einem Λ-Torsionsmodul M. Durch Bildung des Quotienten nach (γ^{p^{n}} −1)·X_{∞} bzw. Tensorieren der Sequenz mit Λ/(γ^{p^{n}} −1) erhält man die exakte Sequenz

X_{n} → (Λ/(γ^{p^{n}} − 1))^{r} ⊕ M/(γ^{p^{n}} − 1)M → C ⊗_{Λ} Λ/(γ^{p^{n}} − 1) → 0.

Da der Term C ⊗_{Λ} Λ/(γ^{p^{n}} − 1) wieder endlich ist, hat X_{n} mindestens so großen ℤ_{p}-Rang wie der Summand (Λ/(γ^{p^{n}} −1))^{r}. Der Rang dieses Moduls lässt sich leicht berechnen: Als ℤ_{p}-Rang von Λ/(γ^{p^{n}} − 1) erhält man die Zahl p^{n}, für (Λ/(γ^{p^{n}} − 1))^{r} also den Rang rp^{n}. Da der Rang von X_{n} beschränkt ist, sieht man sofort, dass sich als einzige Möglichkeit r = 0 ergibt, das heißt, X_{∞} ist pseudo-isomorph zu einem Torsionsmodul und damit selbst Torsionsmodul.

2.10 Das charakteristische Polynom eines Iwasawa-Moduls

Jeder endlich erzeugte Torsionsmodul M über der Iwasawa-Algebra Λ = ℤ_{p}[[T]] ist nach den Ergebnissen aus Abschnitt 2.6 bis auf endlichen Kern und Cokern isomorph zu einem Modul der Form

⨁_{i=1}^{m} Λ/(g_{i}^{k_{i}}) ⊕ ⨁_{j=1}^{n} Λ/(p^{ℓ_{j}})

mit eindeutig bestimmten irreduziblen Weierstraß-Polynomen g_{i} ∈ ℤ_{p}[T] und Zahlen k_{i}, ℓ_{j}.

Definition. Das charakteristische Polynom von M ist das Produkt der durch einen solchen Pseudo-Isomorphismus gegebenen Polynome g_{i}^{k_{i}}.

Jeder der Summanden Λ/(g_{i}^{k_{i}}) ist als ℤ_{p}-Modul frei und endlich erzeugt. Bei Tensorieren mit ℚ_{p} werden diese Summanden also zu endlichdimensionalen ℚ_{p}-Vektorräumen, und die restlichen Summanden verschwinden. Durch die Λ-Modulstruktur auf M ist eine ℤ_{p}-lineare Abbildung τ : M → M definiert, die durch Multiplikation mit dem Element T ∈ ℤ_{p}[[T]] gegeben ist. Diese Abbildung induziert einen Vektorraumendomorphismus des endlichdimensionalen ℚ_{p}-Vektorraums M ⊗_{ℤ_{p}}ℚ_{p}, dessen charakteristisches Polynom wir mit p_{τ} bezeichnen.

Satz 2.49. Die folgenden Polynome über ℚ_{p} stimmen bis auf Einheiten aus ℚ_{p}[T] mit dem charakteristischen Polynom von M überein:

• p_{τ} (T)

• Δ_{0}(M ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}), der Erzeuger des nullten Fitting-Ideals über ℚ_{p}[[T]]

• Δ_{0}(M), der größte gemeinsame Teiler der Elemente aus dem nullten Fitting-Ideal über ℤ_{p}[[T]].

Beweis. Durch Tensorieren mit ℚ_{p} erhält man aus dem Pseudo-Isomorphismus

M → ⨁ Λ/(g_{i}^{k_{i}}) ⊕ ⨁ Λ/(p^{k_{j}})

einen Isomorphismus

M ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} ^{∼} – ⟶ ⨁ ℚ_{p}[[T]]/(g_{i}^{k_{i}}) = ⨁ ℚ_{p}[T]/(g_{i}^{k_{i}}).

Wir können M ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} also als endlich erzeugten Modul über dem Polynomring ℚ_{p}[T] auffassen. Sowohl das Element p_{τ} (T) als auch der Erzeuger des nullten Fitting-Ideals ergeben sich dann mit Satz 1.4 als Produkt der Polynome g_{i}^{k_{i}}.

Das nullte Fitting-Ideal F_{0}(M ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}) ist das von F_{0}(M) erzeugte Ideal in ℚ_{p}[[T]], da eine Präsentationsmatrix von M über ℤ_{p}[[T]] auch als Präsentationsmatrix von M ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} über ℚ_{p}[[T]] aufgefasst werden kann. Der größte gemeinsame Teiler der Elemente aus F_{0}(M) ist also ein Erzeuger des nullten Fitting-Ideals von M ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}.

Definition. Das charakteristische Polynom des Iwasawa-Moduls X_{∞}, den man wie im vorhergehenden Abschnitt aus der maximalen p-verzweigten p-Erweiterung eines total reellen Zahlkörpers K erhält, nennen wir Iwasawa-Zetafunktion. Wir bezeichnen es mit Z_{K,p}(T).

In Abschnitt 2.9 wurde gezeigt, dass X_{∞} tatsächlich ein Λ-Torsionsmodul ist, sodass diese Definition sinnvoll ist. Allgemeiner treffen wir für endlich erzeugte Λ-Moduln die folgende Vereinbarung:

Falls M ein endlich erzeugter Λ-Modul M mit positivem Rang ρ ist, definieren wir das charakteristische Polynom von M als charakteristisches Polynom seines Torsions-Untermoduls. Man erhält es nach Satz 1.5 als größten gemeinsamen Teiler des ρ-ten Fitting-Ideals von M.

2.11 Die Hauptvermutung

Die Vermutung, die als Hauptvermutung der Iwasawatheorie für Zahlkörper bekannt wurde, ist Ende der 60er Jahre von Iwasawa aufgestellt worden und wurde 1984 für abelsche Zahlkörper und 1990 im allgemeinen Fall bewiesen.^{2} Der Satz stellt den Zusammenhang her zwischen dem Polynom, das wir Iwasawa-Zetafunktion genannt haben, und den arithmetischen p-adischen Zetafunktionen, die sich durch Interpolation der Dedekind-Zetafunktion ergeben.

Wir stellen hier kurz eine einfache Version der Hauptvermutung vor, um das Objekt „Iwasawa-Zetafunktion“ besser einordnen zu können und eine Antwort auf die Frage zu geben, warum unser Polynom den Namen „Zetafunktion“ trägt. p-adische Zeta- und L-Funktionen werden in den Büchern von Washington [46], Koblitz [20] und Iwasawa [17] behandelt. Eine zusammenfassende Darstellung der Hauptvermutung mit weiteren Referenzen findet man in Kapitel XI, §6 von [33], an dem wir uns hier orientieren.

In diesem Abschnitt bezeichnen wir mit p wieder eine ungerade Primzahl.

2Die Bezeichnung „Hauptvermutung“ wird also inzwischen nur noch aus historischen Gründen verwendet.

2.11.1 p-adische Zetafunktionen

Die Riemann’sche Zetafunktion, die für s ∈ ℂ mit ℜ(s) > 1 durch

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = ∏_{p prim} \frac{1}{1 − p^{−s}}

gegeben ist, ist bekanntlich eine auf der Menge ℂ\{1} holomorphe Funktion mit einem einfachen Pol bei s = 1.

Dass der Versuch, eine p-adische Zetafunktion auf dieselbe Weise durch eine unendliche Summe zu definieren, nicht gelingen kann, sieht man sofort: Im Körper ℚ_{p} konvergiert eine Reihe genau dann, wenn die zugehörige Folge gegen 0 konvergiert. Für die Riemann’sche Zetafunktion stellt man fest, dass die Reihe für s ∈ ℕ p-adisch nicht konvergiert, da die Summanden (p^{k})^{−s} jeweils Norm p^{sk} haben und alle anderen Summanden die Norm 1 haben.

Selbst wenn man die Summanden für die Vielfachen von p, deren p-adische Bewertung beliebig groß wird, entfernt, ist die Definition einer Zetafunktion als unendliche Summe im p-adischen Fall also nicht möglich.

Stattdessen fanden T. Kubota und H.-W. Leopoldt in den 60er Jahren heraus, dass gewisse Kongruenzrelationen, die schon von Kummer entdeckt worden waren, es erlauben, die Riemann’sche Zetafunktion an den negativen ganzzahligen Stellen p-adisch zu interpolieren, wenn man die oben genannten „großen“ Summanden entfernt, also nur die Funktion

∑_{p∤n} \frac{1}{n^{s}} = ∏_{q≠p} \frac{1}{1 − q^{−s}} = ζ(s) · (1 − p^{−s})

betrachtet.

Die Werte der Zetafunktion bei den negativen ganzen Zahlen lassen sich durch die Bernoulli-Zahlen ausdrücken:

ζ(1 − k) = −\frac{B_{k}}{k} ,

wobei die k-te Bernoulli-Zahl B_{k} durch die Potenzreihe

\frac{t}{e^{t} − 1} = ∑_{k=0}^{∞} B_{k} · \frac{t^{k}}{k!}

definiert wird. Diese Zahlen sind also insbesondere rationale Zahlen. Sie erfüllen die folgenden Kongruenzrelationen ([20], II.6 Th. 7):

Satz 2.50 (Kummer-Kongruenzen). Falls p − 1 ∤ k und k′ ≡ k mod (p − 1)p^{N}, gilt

(1 − p^{−(1−k)}) · \frac{B_{k}}{k} ≡ (1 − p^{−(1−k′)}) · \frac{B_{k′}}{k′} mod p^{N+1}.

Zwei solche Zahlen k und k′ liegen p-adisch nah beieinander, und der Satz sagt aus, dass dasselbe für die Werte der modifizierten Zetafunktion bei k und k′ gilt. Er liefert also eine erste notwendige Bedingung für die Existenz einer stetigen Fortsetzung dieser Funktion auf ℤ_{p}.

p-adische Zetafunktionen kann man nicht nur aus der Riemann’schen Zetafunktion gewinnen, sondern auch aus den Verallgemeinerungen dieser Funktion. Jedem Zahlkörper K wird die durch

ζ_{K}(s) = ∑_{𝔞}N𝔞^{−s} = ∏_{𝔭} \frac{1}{1 − N𝔭^{−s}}

definierte Dedekind-Zetafunktion zugeordnet, wobei 𝔞 die Ideale von O_{K} durchläuft und 𝔭 entsprechend die Primideale. Die Riemann’sche Zetafunktion ergibt sich hier im Spezialfall K = ℚ. Die Reihen konvergieren absolut und gleichmäßig im Bereich ℜ(s) ≥ 1 + δ für jedes δ > 0 und lassen sich meromorph auf ℂ fortsetzen. Wie im Fall der Riemann’schen Zetafunktion ist bekannt, dass ζ_{K}(1 − n) für jede natürliche Zahl n eine rationale Zahl ist und dass gewisse Kongruenzrelationen erfüllt sind, die auch hier eine Interpolation erlauben:

Satz 2.51. Sei K ein total reeller Zahlkörper mit Dedekind-Zetafunktion ζ_{K}. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Funktion ζ_{K,p} : ℤ_{p}\{1} → ℚ_{p}, die für alle Vielfachen n von d = [K(μ_{2p}) : K] die Gleichung

ζ_{K,p}(1 − n) = ζ_{K}(1 − n) ∏_{𝔭|p}(1 − N𝔭^{−(1−n)})

erfüllt.

Die Funktion ζ_{K,p}(s) ist p-adisch analytisch und hat höchstens einen einfachen Pol an der Stelle s = 1.

2.11.2 Die Aussage der Hauptvermutung von Iwasawa

Um die Hauptvermutung zu formulieren, betrachten wir wieder einen total reellen Zahlkörper K und seine zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung K_{∞}.

Die Automorphismengruppe von μ_{p^{∞}} ist kanonisch isomorph zu der Gruppe der Einheiten in ℤ_{p}; der Isomorphismus

f : Aut(μ_{p^{∞}}) ^{∼} – ⟶ ℤ_{p}^{∗} = \underleftarrow{lim}(ℤ/p^{n}ℤ)^{∗}

ist durch die folgenden Homomorphismen f_{n} : Aut(μ_{p^{∞}}) → (ℤ/p^{n}ℤ)^{∗} gegeben:

Falls φ ∈ Aut(μ_{p^{∞}}) eine primitive p^{n}-te Einheitswurzel ζ_{n} auf ζ_{n}^{α} abbildet, setzt man f_{n}(φ) = α ∈ (ℤ/p^{n}ℤ)^{∗}. Diese Homomorphismen setzen sich offenbar zu einem Homomorphismus von Aut(μ_{p^{∞}}) nach ℤ_{p}^{∗} zusammen. Die Umkehrabbildung g kann durch die Gleichung g(a)(ζ_{n}) = ζ_{n}(\overline{a}) beschrieben werden, wobei \overline{a} die Restklasse von a modulo p^{n}ℤ_{p} bezeichnet. Also ist f ein Isomorphismus.

Sei nun

κ : Γ = Gal(K_{∞}/K) ≅ Gal(K(μ_{p^{∞}})/K(μ_{p})) ↪ Gal(K(μ_{p^{∞}})/K) → Aut(μ_{p^{∞}}) ≅ ℤ_{p}^{∗}

die Abbildung, die man durch die Operation der Galoisgruppe Gal(K(μ_{p^{∞}})/K) auf μ_{p^{∞}} erhält.

Wir wählen einen Erzeuger γ von Γ und bezeichnen sein Bild in ℤ_{p}^{∗} unter der Abbildung κ mit q.

Satz 2.52. Es gibt eine eindeutig bestimmte Potenzreihe G_{K,p} ∈ ℤ_{p}[[T]], sodass

ζ_{K,p}(s) = \frac{G_{K,p}(q^{1−s} − 1)}{q^{1−s} − 1}.

Da bei s = 1 eine einfache Polstelle von ζ_{K,p} vermutet wird, entwickelt man die Funktion an dieser Stelle, um eine Potenzreihe G_{K,p} zu erhalten.

Bemerkung. Für ein Schema X von endlichem Typ über einem endlichen Körper 𝔽_{q} definiert man einerseits Z(X, t) = exp ∑_{r=1}^{∞} N_{r} \frac{t^{r}}{r}, wobei N_{r} die Anzahl der Punkte mit Koordinaten in 𝔽_{q^{r}} bezeichnet. Andererseits ist die Zetafunktion von X durch ζ(X, s) = ∏ \frac{1}{1−N(x)^{−s}} gegeben, wobei x die abgeschlossenen Punkte durchläuft und N(x) die Anzahl der Punkte im Restklassenkörper bezeichnet. Zwischen diesen Funktionen besteht der Zusammenhang Z(X, q^{−s}) = ζ(X, s), die erste Funktion ergibt sich also aus der zweiten einfach durch eine Variablensubstitution und es handelt sich im Prinzip um dasselbe Objekt.

Die Rolle der Zahl q, also der Anzahl der Elemente im Grundkörper, übernimmt in unserem Fall ein Erzeuger der Galoisgruppe Gal(K_{∞}/K), aufgefasst als Element der additiven Gruppe ℤ_{p}.

Satz 2.53 (Hauptvermutung). Sei K ein total reeller Zahlkörper, G_{K,p}(T) die Potenzreihe, die sich wie oben aus der p-adischen Zetafunktion ζ_{K,p}(s) ergibt und Z_{K,p}(T) das charakteristische Polynom des Iwasawa-Moduls X_{∞}. Dann gibt es eine Einheit u(T) ∈ ℤ_{p}[[T]]^{∗}, sodass

G_{K,p}(T) = u(T) · p^{μ(X_{∞})} · Z_{K,p}(T).

Dieser Satz wurde zunächst für abelsche Zahlkörper bewiesen, für die man sogar weiß, dass die μ-Invariante μ(X_{∞}) verschwindet. Für allgemeine total reelle Zahlkörper ist die Aussage der Hauptvermutung seit 1990 bekannt, und es wird vermutet, dass μ im allgemeinen Fall ebenfalls verschwindet.

Bemerkung. 1. Das Element Z_{K,p}(T) hängt von der Wahl eines Erzeugers γ ∈ Γ ab, der den Isomorphismus ℤ_{p}[[Γ]] → ℤ_{p}[[T]] bestimmt. Die Aussage der Hauptvermutung ist allerdings invariant unter einer Änderung dieses Erzeugers:

Sei γ′ = γ^{α} mit α ∈ ℤ_{p}^{∗} ein anderer Erzeuger von Γ. Unter dem Isomorphismus γ ↦ T +1 wird γ′ auf (T + 1)^{α} abgebildet, die Variable T wird also durch (T + 1)^{α} − 1 ersetzt, und wegen κ(γ′) = κ(γ)^{α} wird gleichzeitig q durch q^{α} ersetzt.

Zwischen den Potenzreihen G_{K,p}(T) und G′_{K,p}(T), die man durch die Wahl von γ bzw. γ′ aus Satz 2.52 erhält, besteht der Zusammenhang

\frac{G_{K,p}(q^{1−s} − 1)}{q^{1−s} − 1} = \frac{G′_{K,p}(q^{(1−s)α} − 1)}{q^{(1−s)α} − 1},

und durch Einsetzen von T für q^{1−s} − 1 erhält man daraus

\frac{G_{K,p}(T)}{T} = \frac{G′_{K,p}((T + 1)^{α} − 1)}{(T + 1)^{α} − 1}.

Da die Polynome Z_{K,p}(T) und Z′_{K,p}((T +1)^{α}−1) bis auf Multiplikation mit einer Einheit übereinstimmen und auch die Elemente T und (T + 1)^{α} − 1 sich nur um Multiplikation mit einer Einheit aus ℤ_{p}[[T]] unterscheiden, bleibt die Aussage der Hauptvermutung im zweiten Fall äquivalent.

2. In [2] wird das als Iwasawa-Zetafunktion bezeichnete Objekt für einen Zahlkörper K und eine Primzahl p folgendermaßen eingeführt: Für den wie in Abschnitt 2.9 definierten Modul X_{∞} gibt es einen Pseudo-Isomorphismus

X_{∞} → ⨁_{i=1}^{s} Λ/(p^{m_{i}}) ⊕ ⨁_{j=1}^{t} Λ/(f_{j}(T))^{n_{j}}

mit irreduziblen Weierstraß-Polynomen f_{j}(T). Sei f(T) das Produkt der Polynome f_{j}(T) und μ = ∑_{i} m_{i} die μ-Invariante von X_{∞}. Dann wird

ζ_{I}(s) = \frac{p^{μ}f(q^{1−s} − 1)}{1 − q^{1−s}}

Iwasawa-Zetafunktion von K genannt. Im Wesentlichen ist ζ_{I} bis auf den Übergang von T zu s dasselbe Objekt wie das Polynom Z_{K,p}(T), dem wir im vorhergehenden Abschnitt denselben Namen gegeben haben.

Nach der Hauptvermutung stimmt die so definierte Funktion bis auf eine Einheit mit der p-adischen Zetafunktion von K überein:

ζ_{I}(s) = u(q^{1−s} − 1) · ζ_{K,p}(s)

mit einem Element u(T) ∈ ℤ_{p}[[T]]^{∗}. Ähnlich wie das Polynom Z_{K,p} kann man ζ_{I} als „rationalen Teil“ der p-adischen Zetafunktion auffassen. In dieser Form hängt die Zetafunktion nicht von der Wahl eines Erzeugers ab.