; TeX output 2003.10.06:0227 LfT html: html: fThtml: html:html: html: +&Lt$ ff ff ecbx14402Iwcasawatheoriep܍ $Hd
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3 ecrm1095DieUntersuchungvonunendlichenErweiterungenvonZahlkrpM_ernmitGaloisgruppe
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msbm10Zz2 cmmi8pwur-
de7vonK.Iwasawain[html:16 html:
L]mitseineminzwischenbM_erhmtenResultatbM_erdasWachstumderb>
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cmmi10p-KlassenzahlenineinersolchenErweiterungeingeleitet.IndiesemKapitelwerdenzunchsteinige.HilfsmittelbM_ereitgestellt,diemanbentigt,ummittelsdervonIwasawa([html:16 html:
L],[html:18 html:]u.a.)entwickeltenkTheoriedieStrukturbM_estimmterunendlicherGaloisgruppM_enzuuntersuchen.html: html:-!N ecbx12002.1ErgebnisseausderKlassenkrp_ertheorieDie!GKlassenkrpM_ertheorievergleichtinihrereinfachstenFormdieKlassengruppM_envonZahl-krpM_ernnmitGaloisgruppenbestimmterunverzweigterErweiterungen.Iwasawastelltin[html:16 html:
L]seinkResultatzunchstalseineVersiondiesesVergleichsfrunendlicheZahlkrpM_erdar. Wir_werdenindiesemKapitelGaloisgruppM_enalsModulnberdernachihmbenanntenIwasawa-AlgebrabM_etrachten.DasisteinvollstndigerGruppenring,dereinerseitsmitHil-fevonIdealklassengruppM_enundandererseitsmitHilfevonGaloisgruppM_endeniertwerdenkeBann.YDassbM_eideSichtweisenYzumgleichenErgebnisfhren,folgtauseinigengrundlegendenAussagen}derKlassenkrpM_ertheorie([ html:46 html:
L],Anhang3),diedeshalbindiesemAbschnittzusam-mengestelltksind.8 SeiJK ȁK cmsy80=KmeineendlichegaloisscheunverzweigteErweiterungvonZahlkrpM_ern,.%n
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eufm10peinPrim-idealQin!",
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cmsy10OK
QmitNormN1pzrK`y
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cmr10=jOK;¼=pjQundPeindarbM_erliegendesPrimidealinOK q% cmsy60
.DerRestklassenkrpM_er:OK 0
퉼=PisteineendlichegaloisscheErweiterungvonOK;¼=pmitzyklischerGaloisgruppM_e{Gal}((OK 0
퉼=P)=(OK;¼=p)),{dievomFrobenius-Automorphismusxm7!xN "/\% eufm8p@erzeugtwird. Da$K ȁ0=Kalsunverzweigt$vorausgesetztwurde,istdieZerlegungsgruppM_eZ ȁ(Pjp)keBanonischisomorph6|zuGalR~((OK 0
퉼=P)=(OK;¼=p)).DemFrobM_enius-AutomorphismuswirdunterdiesemIso-morphismuskderAutomorphismusz0e{ eufm6P 2
Gal&(K ȁ0=K ȁ)zugeordnet,derdurchdieAngabM_ensO*zP(P)
Pund/.zP(x)xzN "p4qmoMd/עPkfralle(Ƽx2OKeindeutigbM_estimmtist.FrjedenAutomorphismusG2
Gal&(K ȁ0=Q)gilt:u r|{Y cmr8(P)=
=OzP 1,denn
frkallex
2K ȁ08%istL
Ƽ=OzPz 1˹(x)n xzN " r(p)=
=O(zP(z 1˹(x))n =Oz 1(x)zN " r(p)))
2=O(P);dakN1=O(p)
=Np.kAlsoist=OzP 1˹(x)
xN " r(p)ܭmoMd7=O(P)kfrallex
2OK;. FallsҼK ȁ0=KfSeineabM_elscheErweiterungist,bM_edeutetdas,dassderAutomorphismuszP SnichtvonderWahldesPrimidealsPˀbM_erpabhngt.IndiesemFallknnenwirjedemPrimidealp~OKdensodeniertenAutomorphismuszPNzuordnenundmitzp @bM_ezeichnen.ErwirdauchkArtin-Automorphismusgenannt. SeikI (K ȁ)dieGruppM_edergebrochenenIdealevonKiund @~ ~Y' ¹:
I (K ȁ)!Gal&(Kz0=K)dieYFortsetzungderdurchp
7!zpdeniertenYAbbildungzueinemGruppM_enhomomorphismus.EineskdergrundlegendenErgebnisseausderKlassenkrpM_ertheorieistderfolgendeSatz: html: html:B4]]
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3 ecbx1095Satzv2.1.*3
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3 ecti1095F*al ls*1K ȁ0=KdiemaximaleabqelscheunverzweigteErweiterungvonKist,induziert~'einenvTIsomorphismus'zwischenderKlassengruppqeCli(K ȁ)undderGaloisgruppederEr-weiterung. 22 *LfT html: html:fTDerV%KrpM_erK ȁ0wirdindiesemFallHilbert'scherKlassenkrpM_ervonKgenannt.Dass
erbM_erKZendlichenGradhat,istausderalgebraischenZahlentheoriebM_ekeBannt.Nachdem vorhergehendenkSatzistdieseAussagequiveBalentzurEndlichkeitderKlassenzahl.nSeiH[L=KeinebM_eliebigegaloisscheErweiterungvonZahlkrpM_ern.DannoperiertdieGalois- gruppM_e-hdieserErweiterungaufderIdealklassengruppevonL:Falls2ſ2vGalx(L=K ȁ)istunda eingebroM_chenesIdealinL,ist=O(a)eingebrochenesIdealinL,unddiedurch5denierte AbbildungkinduzierteinenAutomorphismusderKlassengruppM_e. html: html:Lemma7;2.2.P Sei L0AderHilbqert-Klassenkrper vonL.DannwirqddieOperationvonGal<
(L=K ȁ)aufFderIdeqalklassengruppeFvonLdurqch'mitderKonjugationsoperationvonGalb(L=K ȁ)aufGal(L09=L)=identiziert./Beweis.)pDie:GaloisgruppM_eGal<(L=K ȁ)operiertdurchinnereAutomorphismeninGal7)(L09=K ȁ)keBanonischaufderabM_elschenGruppM_eGal(L09=L).Sei-2TGalp(L=K ȁ)und+~5einUrbildinGal(L09=K ȁ).8MitdergleichenRechnungwieobM_enfolgtRzp-=~&
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